8.3 正态分布-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第八章 概率 8.3正态分布 【必备知识】 知识点1:正态分布 1.连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴,但取一点的概率为0,称这类随机变量为连续型随机变量. 2.正态分布 (1)正态曲线 函数.其中为参数.我们称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量的概率分布密度函数为,则称随机变量服从正态分布,记为.特别地, 当时,称随机变量服从标准正态分布. (3)正态分布的均值与方差 若,则. 3.正态曲线的特点 (1) 曲线位于轴上方,与轴不相交; (2) 曲线是单峰的,它关于直线对称; (3) 曲线在处达到峰值; (4) 当|x|无限增大时,曲线无限接近轴; (5) 对任意的,曲线与轴围成的面积总为1 ; (6) 在参数取固定值时,正态曲线的位置由确定,且随着的变化而沿轴平移,如图甲所示; (7) 当取定值时,正态曲线的形状由确定,当较小时,峰值高,曲线“瘦 高”,表示随机变量的分布比较集中;当较大时,峰值低,曲线“矮胖” ,表示随机变量的分布比较分散,如图乙所示. 4.原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 (2)原则 在实际应用中,通常认为服从正态分布的随机变量只取, 中的值,这在统计学中称为原则. 【典例1】已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称， 所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边， 所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图象，可知正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D 【典例2】良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数） （附：若，则，， A．163 B．51 C．26 D．20 【答案】C 【详解】 解：由题意，，则，，所以 ，， 则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为26． 故选：C. 【典例3】某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：） A．16 B．10 C．8 D．2 【答案】C 【详解】 因为数学成绩，所以，因此由 所以有， 估计该班数学得分大于120分的学生人数为， 故选：C 【典例4】如果随机变量，且，那么的值为（ ） A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8 【答案】A 【详解】 解：已知随机变量，， 则， 根据正态密度曲线的对称性得出. 故选：A 【过关检测】 一、单选题 1．设随机变量，若，则a的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】 由正态分布的特征知与关于直线对称，所以，解得. 故选：C. 2．已知随机变量，，则的值为（ ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【答案】A 【详解】 由，得正态密度曲线的对称轴为直线， 如上图，则. 故选：A. 3．若，，其中，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ． 故选：A. 4．若随机变量，且，则等于（ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【详解】 由于随机变量，则， 因此，. 故选：A 5．已知随机变量服从正态分布，且，，若，，则约为（ ） A．15.75% B．13.59% C．27.18% D．15.85% 【答案】B 【详解】 由题知，该正态曲线关于直线对称，且，，因此. 故选：B 6．下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（ ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【答案】A 【详解】 正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确； 只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确； 正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确； 曲线的位置由对称轴确定，曲线的