专题18.1 三角形中位线定理（重点题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题18.1 三角形中位线定理 【典例1】如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为 　　． 【思路点拨】 连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可． 【解题过程】 解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM， ∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点， ∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线， ∴EM∥AB，MF∥DC，EMAB＝2，MFDC＝3， ∵MF∥DC， ∴∠FGC＝∠EFM， ∵EM∥AB， ∴∠FEM＝∠FHB， ∵∠BHF与∠CGF互余， ∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°， ∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°， ∴△EMF是直角三角形， ∴EF， 故答案为：． 1．（2022•武进区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（　　） A．13 B． C．17 D．19 【思路点拨】 根据三角形的中位线和四边形的周长公式即可得到结论． 【解题过程】 解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线， ∴DE＝BFBC9，EF＝BDAB10＝5， ∴四边形DBFE的周长为DE+BF+EF+BD＝9+10＝19， 故选：D． 2．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【思路点拨】 根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DEAB＝3，BEBC＝2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF＝BE＝2，计算即可． 【解题过程】 解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4， 由勾股定理得：AB6， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠EBF， ∵D，E分别为CA，CB的中点， ∴DE∥AB，DEAB＝3，BEBC＝2， ∴∠ABF＝∠EFB， ∴∠EFB＝∠EBF， ∴EF＝BE＝2， ∴DF＝DE﹣EF＝1， 故选：B． 3．（2021春•雁塔区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】 连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA（180°﹣100°）＝40°，根据勾股定理得到AC12，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【解题过程】 解：连接AC， ∵∠D＝100°，AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣100°）＝40°， ∵∠BAD＝130°， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝5，BC＝13， ∴AC12， ∵点E，F分别是边AD，CD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EFAC＝6， 故选：D． 4．（2021秋•海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN，则△ABC的周长为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【思路点拨】 利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解题过程】 解：在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BE＝BA，AN＝NE， 同理，CD＝CA，AM＝MD， ∵AM＝MD，AN＝NE，MN， ∴DE＝2MN＝3， ∵BE+CD﹣BC＝DE， ∴AB+AC＝BC+DE＝10， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17， 故选：A． 5．（2021春•澄江市期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．4 【思路点拨】 如图，延长FE交AC于G，首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用平行线的性质和角平分线的性质推知∠D＝∠CAD，则判定AC＝CD；最后利用三角形中位线定理分别求得FG和EG的长度，求差即可． 【解题过程】 解：如图，延长FE交AC于G， ∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10． ∵AB∥CD，AD是∠BAC的平分线， ∴∠D＝∠DAB，∠DAB＝∠DA