专题02 两条直线的位置关系 点到直线的距离-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题02 两条直线的位置关系 点到直线的距离 题型一 两条直线的位置关系 例题1若直线x+y﹣2＝0和直线mx+2y+9＝0平行，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D． 例题2设，直线，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3若直线与直线垂直，垂足为，则（       ） A． B．4 C． D． 例题4已知直线与互相垂直，则a的值是___________. 【解题技巧提炼】 两条直线的位置关系 l1∥l2 l1⊥l2 l1、l2的倾斜角α1、α2间的关系 α1＝α2 |α2－α1|＝90° 图示 斜率间的关系(若l1，l2的斜率都存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2) 若l1，l2的斜率都存在，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(如图①所示)； 若l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2(如图②所示)或l1与l2重合 若l1，l2的斜率都存在，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1(如图③所示)； 若l1，l2有一条直线的斜率不存在，则l1⊥l2⇔另一条直线的斜率为0(如图④所示) 思考1：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ 提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等． 思考2：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ 提示：不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． 题型二 两条直线的夹角 例题1两条直线2x+y-2= 0和2x +4y-5= 0的夹角大小为__________.（结果用反三角函数值表示） 例题2 直线与直线的夹角是，则实数的值为___________． 【解题技巧提炼】 1、两条直线的夹角 平面上两条直线和相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是 ，而两条相交直线夹角的取值范围是（. 2、夹角公式的推导 设两条直线的方程分别为：（不全为零） ：（不全为零）. 设与的夹角为，与的一方向向量分别为与，其夹角为，且=,=， 当时，则如图甲所示;当时，则,如图乙所示. 于是得:. 即为直线与的夹角公式. 特别地,当且仅当时, 与的夹角为,即与垂直.也就是说:垂直垂直(其中,分别为与的一个法向量) 而由,易得当时,有,即当两条直线的斜率都存在时, 与垂直的充要条件是其中分别为直线与的斜率. 题型三 点到直线的距离 例题1若点在直线：上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 例题2两平行直线：与：之间的距离是_____． 【解题技巧提炼】 一、问题的提出： 已知直线的方程是不同时为0）和直线外一点，求点P到直线的距离。 点到直线的距离即是过已知点向直线作垂线，夹在已知点与垂足之间的垂线段的长，也可以理解成已知点与直线上点之间距离的最小值。 二、方案设定与问题解决： 方案一：由直线的方程是，知直线的法向量，所以过点与直线垂直的直线的法向量为，则直线的方程为 设直线与的交点为，则坐标满足， 解此方程组得：，由两点间距离公式： ＝＝ 。所以得，点到直线的距离为： 。 方案二：利用函数思想与两点间距离公式： 因为点到直线的距离是直线外点与直线上点连线之间距离的最小值，设直线上任一点的坐标为，则，（不妨设，则，由两点间距离公式： 由二次函数的性质，当时，的最小值为。 方案三：（构造直角三角形）如图： Q R O 不妨直线与坐标轴不平行，点在直线上的 射影为，过作轴的平行线交直线于点， 则，又点坐标， 所以， 由斜率公式知，所以，所以＝ ，即点到直线的距离。当直线与坐标轴平行时，此式仍成立。 方案四：向量法： 如图：设点在直线上的射影为，则即为点到直线的距离。直线的法向量，，。 O 若与同向，则与夹角为0，此时。 若与反向，则与夹角为，此时。 则＝。 因为点在直线上，所以， 即有：，代入得：，所以点到直线距离为：。 此方法的技巧性强，综合运用了向量的有关知识。 方案五：投影法：（示意图） 设是直线上的任意一点，到直线的距离是向量在直线上投影的绝对值。的法向量，所以，因为，且，所以，即。 说明：从以上几种推导方法上可发看出，解几中的思路好寻，但简单方法难找，讲解中前四种思路可以作介绍，方案五作为重点。 三、点到直线距离公式的应用： 例1：求点到直线的距离。 解：由点到直线的距离公式，得点到直线的距离 所以，点到直线的距离为。 例2：已知的三个顶点的坐标分别为，求： （1）边上的高；（2）的面积；（3