第五章 复数（B卷·提升能力) -2021-2022学年高一数学同步单元AB卷（北师大版2019必修第二册）

班级 姓名 学号 分数 第五章 复数（B卷·提升能力） （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】由复数满足， 则， 则复数在复平面内所对应的点的坐标为， 则复数在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：． 2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】复数， 所以， 故复数在复平面上的对应点为位于第四象限． 故选：． 3．复数为纯虚数，则的取值是　　 A．3 B． C． D．1 【解析】是纯虚数 且，解之得 故选：． 4．已知为虚数单位，则　　 A． B． C．1 D． 【解析】， 故选：． 5．已知，则“”是“为纯虚数”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【解析】①对于复数，若，不一定为纯虚数，可以为0，充分性不成立， ②若为纯虚数，设，，，，必要性成立， 是为纯虚数的必要非充分条件． 故选：． 6．若复数满足，，则在复平面内对应的点为　　 A． B． C． D． 【解析】由，可得：，化为：， ，， ， 解得， ， 在复平面内对应的点为， 故选：． 7．已知复数满足，则的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为，所以在复平面内所对应的点到点的距离为1， 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 所以的取值范围为，， 则的最大值为3． 故选：． 8．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及共运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．在复平面内，复数是虚数单位，是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为　　 A． B．1 C． D．2 【解析】， 为纯虚数，，即． ，则，为曲线上的动点， 其轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆， 则与之间的最小距离为． 故选：． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是　　 A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．的实部为 D．的虚部为 【解析】， ， 则在复平面内对应的点位于第四象限，故正确； ，故正确； 的实部为，故正确； 的虚部为，故错误． 故选：． 10．已知复数，则下列结论中正确的是　　 A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【解析】， 的虚部为1，，，在复平面内对应点的坐标为，在第一象限． 错误，正确． 故选：． 11．设为复数，则下列命题中正确的是　　 A． B． C．若，则的最大值为2 D．若，则 【解析】设， 对于，，，故选项正确； 对于，，，故选项错误； 对于，表示对应的点在单位圆上，表示点对应的点与的距离，故的最大值为2，故选项正确； 对于，表示对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，表示对应的点与原点的距离，故，故选项正确． 故选：． 12．下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若复数，满足，则 C．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等 D．“”是“复数是虚数”的必要不充分条件 【解析】．若，则，故正确； ．设，，，． 由，得， 则，而不一定等于0，故错误； ．，为纯虚数，其实部与虚部不等，故错误； ．复数是虚数则，即， 故“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故正确． 故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 13．若复数满足，则　　． 【解析】由，得， ． 故答案为：． 14．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为　　． 【解析】由题意得， 则，即最大值为3． 故答案为：3． 15．复数为一元二次方程的一个根，则复数　　． 【解析】为一元二次方程的一个根， 为一元二次方程的另一个根， 则，解得，． ． 故答案为：． 16．设复数，满足，，则　　． 【解析】复数，满足，，所以， ， ．得． ． 又，故． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数，，为虚数单位． （1）若复数在