专题18 高考数学新热点—开放题-备战2022高考数学命题意图揭秘（江苏、山东等新高考地区专用）

专题18 高考数学新热点—开放题 一、真题展示 1．（2021全国卷II）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列；②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】选择①③为条件，②结论． 证明过程如下： 由题意可得：，， 数列的前项和：， 故， 据此可得数列 是等差数列． 选择①②为条件，③结论： 设数列的公差为，则： ， 数列 为等差数列，则：， 即：，整理可得：，． 选择③②为条件，①结论： 由题意可得：，， 则数列 的公差为， 通项公式为：， 据此可得，当时，， 当时上式也成立，故数列的通项公式为：， 由，可知数列是等差数列． 2．（2021新高考全国卷II）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为（答案不唯一，均满足） 3．（2021新高考全国卷II）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点 ①； ②． 【解析】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 4.（20200新高考山东卷）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】由可得：， 不妨设， 则：，即. 选择条件①的解析： 据此可得：，，此时. 选择条件②的解析： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 选择条件③的解析： 可得，， 与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. 二、命题意图揭秘 开放题是近两年的高考热点，可以以客观题形式出现，也可以以解答题形式，2021年全国卷I、全国卷II及新课标全国卷II都考查了成立问题，考查热点有以下几类问题：条件开放性问题、结论开放性问题及结构不良问题. 三、重点知识与方法整合 1. 开放探索性题目没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或方法.这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识. 2.所谓结构不良,就是试题不是完整呈现,一般需要考生从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答,试题具有一定的开放性,不同的选择可能导致不同的结论,难度与用时也会有所不同.此类题型的设置一定程度上让学生参与了命题,从传统解题向解决问题的思维转变.如何选择条件,如何求解此类问题,以下给出求解策略. 策略一： ①由题意利用数学知识对“定”（确定的条件）进行分析推断，得出一部分结论； ②观察分析“动”（给定选项的条件），再结合题干要求选出最优条件（最熟悉，能发挥自己优势，容易拿分）进行解答. 策略二： ①由题意利用数学知识对“定”（确定的条件）进行分析推断，不容易得到明确的结论； ②观察分析“动”（给定选项的条件），再结合题干要求选出最优条件（最熟悉，能发挥自己优势，容易拿分）； ③从“动”（给定选项的条件）出发，经过分析推理得到有利于解题的结论，再结合“定”的条件进行作答. 四、押题冲关 1．（2022届安徽省部分学校高三上学期期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，且（O为原点），写出一个满足条件的抛物线方程___________，此时直线的方程为___________. 【答案】          【解析】由与联立得，设，则,因为，所以，又， 故，解得,取,此时抛物线方程为，直线方程为, 故答案为； 2．（2022届北京东城区高三一模）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，，，为三个可供选择的测量点，点，在同一水平面