【小升初专项培优】冲刺小升初数学立体几何专项-—长正方体

立体几何—长、正方体 【重要性】 关于立体图形的考题是小升初考试的重点和难点，考试形式多种多样，在选择、判断、填空、应用题中都有可能出现。立体图形主要考查常见的立体图形（长、正方体，圆柱、圆锥）的表面积和体积，尤其是现在正值六年级上学期期末考试前夕，长方体和正方体是六年级学生期末考试的重点内容，所以这次我们趁热打铁，把长方体和正方体常考题型给各位同学复习一下，帮助学生轻松应考。 【知识梳理】 立体图形 示例 表面积公式 体积公式 长方体 正方体 公式的应用 例1、把一根6米长的铁丝焊接成长和宽都是6分米的长方体框架，长方体框架的高是（ ）分米，体积是（ ）立方分米；如果在长方体框架的四周粘上广告纸，至少要（ ）平方分米的广告纸。 【答案】3； 108； 72 【解析】 长方体有4条长，4条宽，4条高；当长和宽都是6分米时，高为[60-（6+6）×4]÷4=3（分米） 根据体积公式，长方体的体积为6×6×3=108（立方分米） 由题意得：在长方体框架的“四周”粘上广告纸，所以只要计算长方体的侧面积即可， 6×3×4=72（平方分米） “缺面”问题 例2、做一个长方体形状的金鱼缸（无盖），长8分米、宽4分米、高6分米，至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米的玻璃需要4元，那么至少需要多少元买玻璃？ 【答案】176平方分米； 704元 【解析】 因为金鱼缸是无盖的容器，所以我们在计算金鱼缸的表面积时，只要计算一个底面积即可. （8×6+4×6）×2+8×4=176（平方分米） 176×4=704（元） 答：至少需要176平方分米的玻璃和704元去买玻璃. “切割”“拼接”问题 例3、一根长方体木料长1.5米，如果沿着高把它截成3个小长方体后，表面积比原来增加了0.64平方米，原来这根木料的体积是多少立方米？ 【答案】0.24立方米 【解析】 从图中我们可以看出，把一根长方体木料截成3段后，相比较原来的长方体增加了4个侧面积 即每个侧面积为：0.64÷4=0.16（平方米） 我们可以把这根长方体木料“立”起来，把侧面积当做底面积，把长当做高 根据公式，这根木料的体积为：0.16×1.5=0.24（立方米） 答：原来这根木料的体积是0.24立方米. 例4、一个长方体，如果高增加4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加了192平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】1152立方厘米 【解析】 从图中我们我们可以看出，高增加后，这个长方体增加了四个面 每个面的面积为：192÷4=48（平方厘米），宽（高）为4厘米，所以长为48÷4=12（厘米） 长方体的高为12-4=8（厘米），长和宽为12厘米； 所以体积为12×12×8=1152（立方厘米） 答：这个长方体的体积是1152立方厘米. 涂色问题 例5、一个表面涂色的正方体，每条棱都被平均分成6份，能切成（ ）个同样大小的小正方体，其中3面涂色的小正方体有（ ）个，2面涂色的小正方体有（ ）个，1面涂色的小正方体有（ ）个。 【答案】216； 8； 48； 96 【解析】 一个正方体，每条棱都被平均分成6份，我们可以把它看成这个正方体的棱长为6， 所以这个正方体的体积为：6×6×6=216，所以能切成216个同样大小的小正方体. 在涂色问题中，三面涂色的小正方体都在大正方体的角上，也就是有8个角，所以有8个3面涂色的小正方体. 2面涂色的小正方体在棱上，每条棱上有6-2=4个2面涂色的小正方体， 所以2面涂色的小正方体共有4×12=48（个） 1面涂色的小正方体在被棱包围的“面”上，每个面上有6×6-4-4×4=16（个）（一共36个，减去3面涂色和2面涂色的），一共有16×6=96（个） 容纳问题 例6、一个长方体纸箱，从里面量长是38厘米，宽和高都是25厘米，往这个纸箱里装棱长是5厘米的正方体魔方，最多可以装（ ）个。 【答案】175 【解析】 这类题目通常有个错误的做法，也是很多学生采用的方法，就是先算出长方体纸箱的体积，用长方体纸箱的体积除以正方体魔方的体积，求出倍数。这种方法错在哪儿呢？ 就是没有考虑到现实情况，箱子中会剩余一些空间（缝隙）是没法放魔方的. 正确的做法是，我们先横着放一排，最多能放38÷5=7（个）···3厘米 能放几排呢？ 25÷5=5（排），总共5×7=35（个） 最后我们算可以放几层？（1层是35个）， 25÷5=5（层），一共35×5=175（个） 放大问题 例7、一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，那么它的体积扩大到原来的（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 【答案】D 【解析】 遇到此