第11讲 解三角形(利用三角函数值域求范围与最值)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第11讲 利用三角函数值域求范围与最值 【必备知识】 1.公式总结 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中 推论$ 2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中, 3.正弦定理变形及推广 (1); (2)为的外接圆半径); (3)(R为的外接圆半径). 4.三角形中内角的三角函数关系 在 中,,则 (1). (2) (3) (4) 5.三角形中的边角关系 (大边对大角,大角对大边). 6.三角形面积公式 2.三角形中求范围与最值的方法 求有关面积或周长的最值(范围)问题,一般转化为某个角的正弦(余弦)函数,利用正弦(余弦)函数的有界性求解,或利用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解. 1.求三角形周长的取值范围或最值 一般转化为求边的取值范围或最值,有时也可以整体求值.把,或看成一个整体,利用均值不等式求解.或者利用正弦定理讲边转化为三角函数,利用角的范围,求解三角函数的范围. 2.对于三角形中的面积最值问题,通常利用均值不等式求解,,的范围,或者转化为求三角函数最值,需熟练掌握求三角函数最值的一些常见方法, 解题时注意角的取值范围. 【典例剖析】 类型一:利用三角函数值域求周长的范围与最值 1．在中，若，，则的周长的最大值为 A．9 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】 根据正弦定理，， 那么，， 所以周长等于 ， ，所以当时，的周长的最大值为. 故选：C. 2．设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为， 故选C 3．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________. 【答案】9 【详解】 解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. ∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C， 则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2sin ＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin， ∵B∈，所以， ∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值9. 故答案为：9. 4．在中，分别为内角的对边，若. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解：由及正弦定理得：，又，所以， 所以， 又，所以， (2)解：由正弦定理可得，所以，， 所以的周长 ， 因为，所以，所以 所以， 即， 所以周长的取值范围为． 类型二:利用三角函数值域求面积的范围与最值 1．设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由得：，； ，，，解得：， ； 由正弦定理得：； 为锐角三角形，，解得：， ，，， . 故选：D. 2．已知，，是锐角的三个内角，的对边为，若数列，，是等差数列，，则面积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为角成等差数列，故，所以，， 故外接圆直径， 由面积公式与正弦定理有 ， 又锐角中，故，解得：. 所以，，， 故， 故选：B. 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】 ，因为，所以， 由正弦定理得，，所以. 因为是锐角三角形，所以.所以解得， 所以.由正弦定理，得， 所以. 所以的面积. 故答案为：. 4．为边上一点，满足，，记，． (1)当时，且，求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)设长为，当时，，， 则， 因为，所以，即 所以，得，所以，所以. (2)在中，，则， 由正弦定理得，又， 所以，， 则的面积， 又， 所以 因为，所以， 所以当，即时，有最大值. 故面积的最大值为：. 类型三:利用三角函数值域求角度的范围与最值 1．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 依题意，由正弦定理得，所以， 由于三角形是锐角三角形，所以. 由. 所以 ， 由于，所以， 所以. 故选：B 2．设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由