第10讲 解三角形(利用基本不等式求范围与最值)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第10讲 利用基本不等式求范围与最值 【必备知识】 1.公式总结 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中 推论$ 2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中, 3.正弦定理变形及推广 (1); (2)为的外接圆半径); (3)(R为的外接圆半径). 4.三角形中内角的三角函数关系 在 中,,则 (1). (2) (3) (4) 5.三角形中的边角关系 (大边对大角,大角对大边). 6.三角形面积公式 2.三角形中求范围与最值的方法 求有关面积或周长的最值(范围)问题,一般转化为某个角的正弦(余弦)函数,利用正弦(余弦)函数的有界性求解,或利用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解. 1.求三角形周长的取值范围或最值 一般转化为求边的取值范围或最值,有时也可以整体求值.把,或看成一个整体,利用均值不等式求解.或者利用正弦定理讲边转化为三角函数,利用角的范围,求解三角函数的范围. 2.对于三角形中的面积最值问题,通常利用均值不等式求解,,的范围,或者转化为求三角函数最值,需熟练掌握求三角函数最值的一些常见方法, 解题时注意角的取值范围. 【典例剖析】 类型一:利用均值不等式求周长的范围与最值 1．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 即，又， 解得，， 又，由余弦定理可得：， ，即 当且仅当时取等号， 则周长的最大值是， 故选：B 2．在中，已知，，则周长的最大值为（       ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】 解：在中，，， 由余弦定理，得， 即， 由基本不等式有，所以， （当且仅当时等号成立）， 周长（当且仅当时等号成立）， 即当且仅当时，周长的最大值为12， 故选：C． 3．已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________ 【答案】 【详解】 在中，、分别是线段、的中点，与交于点， 则为的重心， 因为，故，则. ， ， 所以， 即， 所以，， ，当且仅当时，等号成立. 因此，周长的最大值为. 4．已知向量，，函数． (1)求函数在上的最大值； (2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解：， 由得，． 在上的最大值为. (2)解：由，得， ，则，所以，，可得， 由余弦定理得 ， 可得，当且仅当时，等号成立， 又因为，则，故， 因此，的周长的取值范围为. 类型二:利用均值不等式求面积的范围与最值 1．的外接圆半径，角，则面积的最大值为（       ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】 解：由正弦定理得， 所以由余弦定理得： ， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以. 故选：A 2．在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设，，，由余弦定理可得 ，， 消去得， 又， 联立消去x得 所以，当且仅当时等号成立， 因此. 故选：B. 3．已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______． 【答案】 【详解】 解:根据正弦定理边角互化结合得,由于，， 所以，即， 因为，所以 因为， 所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 故答案为： 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设． (1)求角A； (2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)因为，由正弦定理得：． 又，所以， 即：，得出，又，所以； (2) 在中，由余弦定理得：       ① 又因为，所以，且，即， 由余弦定理，得             ② 将①②联立得：，即，（当且仅当时等号成立） ． 类型三:利用均值不等式求角度的范围与最值 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2． 又cos C＝＝≥＝. 当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cos C取到最小值，从而角C取到最大值. 当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c． 所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π． 故选：. 2．已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵,\ ∴， ∴由正弦定理得：， 即， ，