第12讲 切线长定理和三角形的内切圆-2021-2022学年九年级全册初三数学【培优竞赛超级课堂】

,'在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°-∠AC)=30°， 又D)平分∠ADC,.OE=OA. .CD-sCD 3 又，OA为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线 (2)如图，过点D作DF⊥BC于点F. 2L.如图，作直径AM,连接BM. :AM,BN分别切⊙O于点A,B, .'AB∥OD,.∠ABO=∠BOD AD⊥AB,AB⊥BC..四边形ABFD是矩形. 又∠ABO=∠BAO, ..AD=BF,AB=DF. 则∠BAO=∠BOD. 又.AD=4,BC=9,∴.FC=9-4=5. 又AM为直径，BD为圆的切线，故 'AM,BN,CD分别切⊙O于点A,B,E, ∠ABM=90°=∠OBD,..∠M=∠D. 而∠M=∠ACB,因此，∠ACB=∠D DA=DE,CB=CE.DC=AD+BC=4+9=13. 22.AF⊥EF,理由如下： 在Rt△DFC中，DC=DF2+FC. 如图，连接BC交AE于点G. ∴.DF=√/DC-FC=/132-52=12, AB∥CD,.∠DCB=∠GBA ∴.AB=12..⊙O的半径R是6. 又∠BAD=∠BCD,·∠BAD ∠ABC,.AGBG A-P :BE为圆的切线，∴EB⊥AB, ∴.∠ABC+∠CBE=90°，∠EAB+ ∠AEB=90°. .'∠EAB=∠ABC,∴.∠CBE=∠AEB, .BG-EG..AG-GE. Q 则CG为△AEF的中位线，CG∥EF 例3图 例4图 :AB为圆的直径，∠ACB=90°. 例4设运动ts时，直线PQ与⊙O相切于点G,如图，过点P作 ∴∠AFE=∠ACB=90°，∴.AF⊥EF PH⊥BC于点H,则四边形ABHP为矩形，.PH=AB,BH 第12讲切线长定理和三角形的内切圆 AP,.PH=8,BQ=BC-CQ=26-31,AP=,HQ=BQ-AP= 例1D提示：，PA,PB,CD分别切⊙O于A,B,E,CD交 26-4t,由切线长定理知PQ=AP+BQ=26-2t,在Rt△PHQ PA,PB于C,D两点，.CE=CA,DE=DB,.∠CAE 中，由勾股定理得PQ=PF+HQ,即(26-2t)2=82+(26 ∠CEA,∠DEB=∠DBE,∴.∠PCD=∠CAE+∠CEA= 2∠CAE,∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE,∴.∠CAE= 4,解得=号=8当=号或1=8s时，PQ与60 合∠PCD,∠DBE=令∠PDC,即∠PAE=寸∠PCD,∠PBE 相切：由于1=8号s时运动停止，所以当0<1<号或8<1≤ ∠PDC:ZP=40,∴∠PAE+∠PBE-= 2∠PCD+ 8号时，PQ与⊙0相交：当号<1<8时，PQ与⊙0相离， 3∠PDC=(ZPCD+∠PDC)=(180°-∠P)=70 [变式题组] L.B提示：如图，连接OA,OB,OE,PA,PB,CD分别切 例2D提示：如图，连接OA, ⊙O于A,B,E,.∠AOC=∠EOC,∠BOD=∠DOE, OE,OB,OD,OB交DE于点H， :等腰△ABC的内切圆⊙O与 D ÷∠COD=∠COE+∠DOE=2∠AOB.“∠APB=54, AB,BC,CA分别相切于点D, ∠AOB=126,.∠COD=63 E,F,∴.OA平分∠BAC,OE⊥ BC,ODAB,BE-BD..AB=1 A AC,∴AO⊥BC,.点A, O,E共线，即AE⊥BC,.BE=CE=3,在Rt△ABE中，AE /5-32=4,.BD=BE=3, ∴.AD=2.设⊙O的半径为r,则OD=OE=r,AO=4-r,在 R△AOD中，/+=(4-r,解得r=号，在R△BOE中， 第1题图 第2题图 0B=3+(g)-3 .BE-BD,OE-OD,.OB垂直 2.A提示：如图，连接OA,OB,则OA⊥AP,OB⊥PB,.在四 21 边形APBO中，∠P+∠AOB=180°..∠AOB=2∠ACB 平分DE,DH=EH,OBLDE2HEOB=号OE·BE, ∠ABC=2∠P,则∠ACB=180°-2∠ABC=180°-4∠P, :B0E匙多X83 .∠AOB=360°-8∠P,∴.∠P+∠AOB=∠P+(360° OB 8∠P)=180°， 3W5 5 ,÷DE=2EH=65 51 ·∠P=180° ，·∠ACB=180°-4×180 7 2 例3(1)如图，过点O作OE⊥CD于点E. -3X180,∠ACB的弧度数为纤， AM切⊙O于点A,.OA⊥AD. 3.D提示：设AD=x,'直角△ABC的内切圆分别与AB, -39 BC相切于点D,E,∴BD=BE=1,.AB=x+1,AC= DA=DE,∠)AD=∠OED=90°， AD+CE=x+4,在Rt△ABC中，(x+1)2+5=(x+4)2,解 .'.△AOD≌△E