第10讲 圆的基本性质-2021-2022学年九年级全册初三数学【培优竞赛超级课堂】

D是AB的中点，.CD 由PG=PQ,PF=PD得四边D =2AB=合×13= 2 cm. 形DQFG为平行四边形， .DQ=FG,∠1=∠2 ,Rt△ABC绕直角顶点C沿 设∠1=a,∠3=R 顺时针方向旋转90到△AB'C :AD∥BC,.∠1+∠3=∠4. 的位置，.∠BCD=B 又：∠4=∠5，.∠5=a+8. ∠BCD..'∠BCD+∠DCB=90°， :∠EFG=120°，.∠EFD ∴.∠B'CD'+DCB=90°.又CD=CD'(旋转前后是对应边)， =120°-a. 图3 ÷△CDD是等腰直角三角形，：DD=2CD=13,2m .BG∥EF,.∠6=180° 2 (120°-a)=60°+a. 24.3.提示：点C,点O,点D均可以作为旋转中心. 又∠6=∠5+∠7，.∠7=60°+a-(a+8)=60°-3. 25.如图，将△ABE绕点B逆时针旋转60得到△FBG. ..∠7=∠QDC=60°-R. 连接GE,FC,则△BEG为等边三角形，，GE=BE 由DQ=FG=BG,DC=BC,得△QCD≌△GCB, ,FC≤G+GE+EC,.∴.FCEA+EB+EC .QC=GC,∠8=∠9.∠8+∠10=120°， :FC为定长，.当点E落在FC上时， .∠9+∠10=120°.又.P为QG的中点， EA十EB十EC=FC为最小值. ∴.PCIPG,∴.∠PCG=60°，PG=3PC .∠FBC=150°，FB=BC,.∠BCF=∠BFC=15°， 而∠GEB=60°，∠EBC=45°， 第10讲圆的基本性质 即点E在正方形ABCD的对角线BD上： 例1C提示：连接AC,AO,,⊙O的直径CD=10cm,AB1 作FH⊥BC交CB的延长线于点H, CD.AB=8cm,∴AM=令AB=×8=4am,0D=0C= 设BC=,则FB=,FH=子HB=。 5cm,当点C位置如图1所示时，：OA=5cm,AM=4cm, 在R△FHc中，由2+r=(告)广+(x+r)广， CDLAB,.OM=√/OA-AF=/5-4=3cm,∴.CM= OC+OM=5+3=8cm,∴.AC=√AMP+C派-√/42+82= 得x=2或x=一2（舍去），即正方形的边长为2. 45cm:当点C位置如图2所示时，同理可得OM=3cm, OC=5cm,.MC=5-3=2cm,在Rt△AMC中，AC= AM+MC=42=25 cm. C M D 26.(1)如图1，延长GP交DC于点Q,易证△DPQ≌△FPG. .QP=PG,DQ=FG.,四边形ABCD,BEFG为菱形， B ∴.CD=CB,FG=BG,∴.CD-DQ=CB-BG,即CQ=CG 图1 图2 又.∠DCB=180°-∠ABC=120°，.∠PGC=30° 例2MN=号AC证明如下：如图，连接OM交AC于点D, .PQ=PG,∴.PG⊥PC,PG=3PC :M是AC的中点，“ACLOM.AD=CD=2AC 又.MN⊥AB,∴.∠MNO=∠ADO=90° ,OA=OM,∴.△MON≌△AOD, :MN=AD.MN=号AC 图1 图2 4 (2)结论仍然成立.如图2，延长GP交AD于点Q,连接CQ,CG. 同(1)得△PDQ≌△PFG, M ∴DQ=FG,PQ=PG.又'FG=BG,∴.DQ=BG. .四边形ABCD为菱形，.CD=CB,∠QDC=∠ABC=60° :四边形BEFG为菱形，.BG=FG,∠EBF=∠GBF. .∠EBF=∠ABC=60°，.∠QDC=∠GBC=60°， 例2图 例3图 ∴.△QDC≌△GBC,∴.QC=GC,∠1=∠2. 例3如图，连接AC,BD.AC-CD-BD,∠AOB=90°，OA :∠DCB=∠1+∠3，∠QCG=∠3+∠2， 0B,∴∠1=∠2=∠3=30°，∠4=∠5=45°，AC=CD=BD. ..∠QCG=∠DCB=120°，.∠PCG=60° ∴.∠AE℃=∠1+∠4=30°+45°=75°.在△AOC中，.OA= ∴.PG⊥PC,PG=3PC. OC,.∠ACO=75°.∠ACO=∠AEC..AE=AC.同理 (3)PG⊥PC,PG=3PC.理由如下：如图3，延长GP至点Q,使 BF=BD,..AE=BF=CD. 得PQ=PG,连接CQ,CG 例4(1)O为AD的中点，OC∥AE,∴.2OC=AE 30 又AD是圆O的直径，.2OC=AD,AD=AE. 例8、3.提示：如图，连接BD,BE,以BE为直径作⊙M. (2)由条件得四边形ABCO是平行四边形，.BC∥AD. ,AB是半圆O的直径，∴.∠ADB=90° 又AE=2OC,.AB=BE=4. :PE⊥PA,∠BPE=90°， AD=AE,.BC=BE=4. .B,P,E,D在⊙M上，