第5讲 一元二次方程的整数根-2021-2022学年九年级全册初三数学【培优竞赛超级课堂】

3-、33 81+486+(81+486)×4=2835(人). 2 :n的值应为正整数，，均不合题意。 答：第四轮后共有2835人得此病. .不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形 20.设x2-xy十y2=M,①x2+xy十y2=3,② 12.q)若号(n+1)=600, 由02可得=3以十y=±写所以y是方程 化简整理得n+n-1200=0, 此方程无正整数解， 士√+3M=0的两个实数根，因此△≥0且 2 故三角点阵中前n行的点数的和不能是600. (②)前n行的点数和的规律为2叶4+6十…+2=2X号a(m+ √≥0，（士√P)-43M≥0且9-Me 0,解得1≤M≤9. 1)=n(n+1). x2一xy十y2的最大值为9，最小值为1. 由n(n+1)=600化简得n2+n一600=0 21.由题意易知这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对 解得m=24,2=一25（舍去）. 于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接 故这个三角点阵中前24行的点数的和是600. 上楼的人所住的层数.事实上，设住在S层的人乘电梯，而住 13.(1)由题意可得△ABD≌△ABE,△ACD≌2△ACF, 在t层的人直接上楼，若S<1,交换两人的上楼方式，其余的 .∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC. 人不变，则不满意的总分减少. .∠BAC=45°， 设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼， ∠EAF=90° 那么不满意的总分为 .AD⊥BC, S=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+ ∴.∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90. 2+…+(x-y-2)] .四边形AEGF是矩形. 又.AE=AD,AF=AD =3×(33-x)(34-x+3y(y+1)(x-y-2)(x-y-1) 2 2 ∴.AE=AF =2.x2-(y+102)x+2y2+3y+1684 .四边形AEGF是正方形 (2)设AD=x,则AE=EG=GF=x, =2(x-+102 4 ）广+g15y-180y+3068) BD=2,DC=3, .BE=2,CF=3, =2(x+1022 4 +专(-6)+316≥31a .BG=x-2,CG=x-3. 易知当x=27,y=6时，S=316. 在Rt△BGC中，BG+CG=BC2, .(x-2)2十(x-3)2=52,解得1=6，x2=-1(舍去)， 故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316. .AD=x=6. 第5讲一元二次方程的整数根 14.D提示：第三季度的产值比第一季度的产值增长了(1+ 例1原方程可化为(a.x-2a十3)(a.x-a十5)=0，.ax-2a+ x%)×(1十x%)一1=(2十x%)x% 3=0或a14十5=0，显然a≠0，∴-20.3-2子.⑩ 15.D提示：由题意得x十2=0或x2-x-1=1或x2-x-1= a -1,且x十2是偶数，分别解得x=一2或2或-1或0. 或x“。5-1一日.②口为非负整数且原方程至少有一个整 16.A提示：列方程得(a十b)2=bb十a十)，解得6=1+5或 数解，∴.由①得a=1或3；由②得a=1或5，故a=1或3或5 2 时，关于x的方程至少有一个整数解 612(舍去)，面积为a+0-(1+15)-7 2 例2：方程有两个整数根，.△=22(2m-3)2-4X(4m2 14m+8)=4(2m+1)是完全平方数. 1n号<<提示：由已知得ah1号a+b士写 又，m为整数且4<m<40,.9<2m十1<81..2m十1=52 3.ab是方程r士V写x十号=0的两个实数根， 或72.∴.m=12或24.当m=12时，解得x1=16,x2=26:当 2 m=24时，解得x1=38,x2=52. 由△-32-2(1-0≥0，解得≥号，故1的取值范围是 例3一个整系数的一元二次方程的根是整数，那么它的判别式 2 一定是完全平方数.，△=（一6）2一4×（一4一32）=4(4r+ 子 32n十9)，.4n2+321+9是完全平方数.设4n十321十9=m (m>0,且m为整数)，则(2n十8)3-55=m2. 18.146.提示：xy+x+y=71,2xy+xy=880, .(2m+8+m)(21+8-m)=55,而55=1×55=5×11=(-1)× xy(x十y)=880,xy+(x十y)=71,.x十yxy可以看 (一55)=(-5)×(-11)，.可能有如下四种情况： 作一元二次方程12-711十880=0的两个解，解得1=55或 12+8+m=55,(2n+8+m=11,2n+8+m=-1, 16,.x十y=55,xy=16或x十y=16,xy=55.当x+y= 2n+8-m=1;