第3讲 韦达定理及其应用-2021-2022学年九年级全册初三数学【培优竞赛超级课堂】

11x2+12x+5=0,△<0，方程没有实数根：当a=11时，方程 2013=x+2013.x1+2014.x2-2013=2014(x1+x2)=2014. 为12x2+12x十6=0,4<0，方程没有实数根. 例3(1)由题意得△=[-(2k-1)]-4×1×(k2-2k+3)>0. 17.a< 提示：把方程化为关于a的一元二次方程的一般形 解得心头，即实数k的取值范围是>头 式a2-(x2+2.x)a+x-1=0,则△=(.x2+2x)2-4(x3-1) (2)由根与系数的关系得x1十2=2k-1,x2=k2一2k十3. =+2,a=2+2x+2),即a=x-1或a 2-2k十3=(k-1)2+2>0,即x1x2>0,m1x2同号. 2 x2+x+1.x=a+1或x2+x+1-a=0.关于x的 +=2k-1且>1，西+>0.n>0.>0 方程x3-ax2-2a.x十a2-1=0只有一个实数根，.方程 1x1-x2=、5,.1-x2=5. x2+x+1一a=0没有实数根，即△<0，∴.1一4(1-a)<0, .(x1-x2)2=5,即(x1+x2)2-4m12=5. 解得a<子.a的取值范围是a<是 ∴.(2k-1)2-4(k2-2k+3)=5.解得k=4. 1&.a≤- 之或a≥-1. 提示：不妨假设三个方程都没有实数 :4公1 ,存在这样的实数k,k的值为4 例4.方程有两个实数根，.△=一24m十16≥0，∴.m≤ 16a2+16a-12<0, 根，则有a-1)-4a<0,解得-多<a<-1,由于三个 号.由根与系数的关系得十n=2m,=2m+m一2， 2 (4a2+8a<0, 方程x2+4a.x-4a十3=0，x2+(a-1)x+a2=0,2+2a.x- +后=(n+xa)2-2m2=(2m）-2×2m+3m-2 2 2a=0中至少有一个方程有实数根，因此实数a的取值范围 2(-)+“m<号-m心号>0… 为a<-是或a>-l1. “(子m)≥（号），故当m=号时十对有最小 19.≥号或<-号.提示：当0时，方程可化为2-20叶 3)x十y-4y十27=0，△=4(y+3)2-4(y2-4y十27) 值，最小值为2X(号号)+日-号 86y一900，w心号.当y<0时方程可化为+20-3+ 例5(1)设关于x的方程x十x十n=0的两个根为，，则有 y2+4y+27=0,A=4(y-3)2-4(y+4y+27)= 西十=一m,=,由条件知所求方程的两个根为，1 西2 8(-5y一9)≥0<-号.y的取值范周是y≥号 “人+人西十-”，1·1=山=↓，所求方程 x1x2xx2n212n’ 或≤号 为r2-”x十=0，即r2+mr+1=0(n≠0). 71 20.原等式可化为24.x2+12x十6y-12xy+2=0,即12.x2+6(1 (2).a,b满足a2-15a-5=0,b-15b-5=0,.当a≠b时， y)x+3y2+1=0.:x,y为实数，∴△=[6(1-y)] a,b是方程x2-15.x-5=0的两个根，∴.a+b=15,ab=-5, 4×12(3y+1)≥0，即-9y2-6y-1≥0，∴.(3y+1)30. 又.(3y+1)2≥0，.(3y+1)2=0,.3y十1=0，y= 六号+台--a2_1里-2x-机.当 ab ab 一5 日将y=-号代人12r+601-r+3y+1=0.得92+ a=6时号+合=1+1=2、六+=2或-47 6r+1=0,即(3+1)r=0,3z+1=0,x=-子故 (3)由题意知a十h=一c,ab=16,a,b是一元二次方程r2 c (一c)x+16=0(c>0)的两个实数根，又：此方程必有实数根， C 21.原方程等价于如下两个方程：x2十a.x一4=0，①x2十ax十4= 4≥0，即2-4×16≥0.：c>0,c2-4≥0， 0.②设m是方程①的根，则后十aa一4=0.又：后十a.xn十 .c≥4，故正数c的最小值为4. 4=x后十a.x一4十8=8≠0，.x0一定不是方程②的根，则 [变式题组] 方程①和②无相同的根.由于只有3个不相等的实根，故方程 1.A提示：.x1,2是一元二次方程x2十x一3=0的两个实数 ①或②必有重根.△1=a2十16>0，△2=a-16≥0，由于△1> 根，…十2=一1,2=一3，+=3，始十=3， 0,故只可能△2=0，即a=士4.当a=4时，三个根分别为一2， -4x+17=x2-1-4.x+18=(x2-1)(x3+x2+1)-4.x+ -2+2、2,-2-2、2;当a=-4时，三个根分别为2,2十 18=(-1-x1-1)×4-4.x7+18=-8-4.x1-4x2+18=-8 22,2-22 -4(.x1+x1)+18=10-