第19讲 相似三角形的综合应用-2021-2022学年九年级全册初三数学【培优竞赛超级课堂】

.AE=AC=x. (2)如图1，过点P作PH⊥x轴于点H,∴.∠PHD=90°， DE=F-m=2y,又提器， :点P(m,n)是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴 y-2yy+y,2-2y-=r/2y-y 右侧，2<m<6,PH-=-之m+2m+6>0, 2 ,OA=0C=6,∠AOC=90°，.∠AC0=45°. 两边平方，整理得(x2+2x+2)y2-(x3+2.x2+4x)y十2.x2= .PD⊥AC于点E,∴.∠CED=90°， 0,解得y一十之十2另一解)一合去， 2.x .∠CDE=90°-∠ACO=45°，.DH=PH=n. PG∥AB,.∠PGH=∠ABO,∴△PGH∽△ABO, 2.x 故y关于x的函数解析式为y=x2+2r十2 器器∴cH=0理=号 AO 6 2 (2)由第(1)题得y= 2 当 ++?（ ）+2w2+2 d=DH-GH=n-寸a=号a=号(-合m+2m+6) 122 2 = =2即x=2时，y一22+221，放当x=2时， m+m+4(2<m<6. y的最大值为w√2-1. 80:5am=GPH-提×号Xn-提， 19.过点A作BC的平行线分别交直线BN,CM的延长线于点G,H, 解得m=子=一子（含去）一之㎡+2m十5= 7 连接GC,HB,易知HG∥DE∥BC 由点D为AB的中点，知点P为BG,CH的中点， 解得m=-1(舍去)，m=5,点P的坐标为(5,2）片 得四边形GH为平行因边形，有仪瓷”说。 ②在抛物线上存在点R,使得△ARS为等腰直角三角形， 所以+”瓷+瓷1，脚+器=1. 设直线AP解析式为y=k十6，把点P代人得5k+6=子 第19讲相似三角形的综合应用 六k=一2，小直线AP的解析式为)=一豆十6. 例1连接AB,O℃，并延长O℃交AB于点E,如题图2，因为铁夹 若∠RAS=90°，且S在线段AC上（如图2）， 的侧面是轴对称图形，故OE是对称轴，.OE⊥AB,AE=BE, ,直线AC的解析式为y=一x十6，∴直线AR的解析式为 易证R△0cD∽R△0AE,÷8器=是面OC= y=x+6, y=x十6， 2610 VOD+DC=26,即24+15-AE AE=39X10-15, 由 26 6或/2， +2+6解得0 （y2=8, ∴.AB=2AE=30(mm) .R(2,8).:∠ASR=∠OAC=45,.RS∥y轴， 答：A,B两点间的距离为30mm. .xs=xR=2,.S(2,4),.直线OM的解析式为y=2x, 例22.5元.提示：如图，作DF⊥ y轴于点D,EGLx轴于点G, y=2.x 12 x ∴.△GEM∽△DNF, 1 2r+6, 24 M(号，) y=一 ·DFNF NF-4EM.GM-EM4 y=5 D 若∠RAS-90°，且S在线段CA的延长线上（如图3）， 设GM=t,则DF=4t, .R(2,8),∠RSA=45°=∠BCA,.SR∥x轴. ∴A(4,)） A ys=yg=8,.S(-2,8). OB GM 由AC=AF,AE=AB .直线OM的解析式为y=-4x 12 ∴AF=,AE=,EG= y=-4x, T= .'△AEF∽△GME,,.AF:EG=AE:GM, y=- x+6, M(-号，s) 7 即：=，即=,f=， 若∠ASR=90(如图4)，∴.∠SAR=∠ACO=45°， .AR∥x轴，.R(4,6). se=90x4y90x·() 360 360 =2x+2=2.5元 :S在AR的垂直平分线上，“S(2,4,∴M(号，)月 例3(1)，抛物线与x轴交于点B(-2,0),C(6,0), 若∠ARS=90°（如图5）， .设交点式y=a(x+2)(x-6). ∴.∠SAR=∠ACO=45°，RS∥y轴，∴.AR∥x轴， 抛物线过点A(0,6),.-12a=6,a=-受， R(4,6),“S(4,2),∴直线OM的解析式为y=号x ∴抛物线的解析式为y=一之（+2一6)=一号+2x十6= y=2x, x=6, .M(6,3). 1 (x一2)+8，∴抛物线的对称轴为直线x=2. 2x+6, y=3, 61 综上所述，M及其对应的点R的坐标分别为M(号，号)， S=(√S+S+,S)=(/20+45+80)2=405cm2. ∴.△ABC的面积为405cm. R(2,8:M(-号，9)R(2,8):M(号，)R(4,6): [变式题组] M(6,3),R(4,6). 1.如图，延长OC,AB交于点P.:∠ABC=120°，∠PBC= 心 60°，：∠OCB=∠A=90°，∠P=30°.AD=20米， OA=号AD=10米.BC=2米，“在R△CPB中， PC=BC·tan60°-2,3米，PB=2BC=4米.：∠P=