第09讲 解三角形(判断三角形形状)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第09讲 判断三角形形状 【必备知识】 1.公式总结 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中 推论$ 2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中, 3.正弦定理变形及推广 (1); (2)为的外接圆半径); (3)(R为的外接圆半径). 4.三角形中内角的三角函数关系 在 中,,则 (1). (2) (3) (4) 5.三角形中的边角关系 (大边对大角,大角对大边). 6.三角形面积公式 2.三角形解的形状 判断三角形的形状, 应围绕三角形的边角关系进行思考, 看其是不是特殊三角形, 要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 依据已知条件中的边角关系进行判断时,主要有如下两条途径: (1) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系,从而判断出三角形的形状. (2) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用"在 中, " 在使用以上两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. 【典例剖析】 类型一:化角为边判断三角形形状 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状（       ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】 由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：C 2．已知a，b，c分别为△三个内角A，B，C的对边，且，则△是（       ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】 由余弦定理得：， 所以，整理得， 当时，△是等腰三角形； 当时，△是直角三角形. 故选：D 3．设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（       ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】 因的三个内角，而，则， 又，由正弦定理得：， 由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形， 所以是等边三角形. 故选：B 4．已知的三个内角、、满足，则的形状是______． 【答案】直角三角形 【详解】 解：由二倍角公式，可化为1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin2C， 即sin2A+sin2C＝sin2B． 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理可得a2+c2＝b2． 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形． 故答案为：直角三角形 5．在中，，则的形状为________（填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形“） 【答案】钝角三角形 【详解】 因为，结合正弦定理得， 设，则，所以, 结合余弦定理，又，所以，即为钝角，所以为钝角三角形， 故答案为：钝角三角形. 6．在△中，已知，试判断△的形状. 【答案】直角三角形 【详解】 由，， ∴， 结合已知条件知：，即， ∴△为直角三角形. 类型二:化边为角判断三角形形状 1．的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则为（       ） A．等腰非等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】 解：，所以.在中，，故， 因为，所以，因为，所以，故为直角三角形. 故选：C． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（       ） A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】 解：由题，得，即， 由正弦定理可得：， 所以，所以 三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：C. 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状为（       ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】 由已知可得， 即． 由正弦定理得：． 在中，， 从而有， 即．在中，，所以． 由此得，故为直角三角形. 故选：B. 4．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则的形状是______． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【详解】 在中，由余弦定理得：，所以可化为：. 由正弦定理得：, 所以. 所以或， 即或. 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 5．在中，若，则的形状是___________. 【答案】直角三角形 【详解】 解：因为， 所以，即， 由于在中，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即三角形为直角三角形. 故答案为：直角三角形 6．在中，已知，判断的形状． 【答案】直角三角形或等腰三角形. 【详