第08讲 解三角形(判断三角形个数)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第08讲 判断三角形个数 【必备知识】 1.公式总结 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中 推论$ 2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中, 3.正弦定理变形及推广 (1); (2)为的外接圆半径); (3)(R为的外接圆半径). 4.三角形中内角的三角函数关系 在 中,,则 (1). (2) (3) (4) 5.三角形中的边角关系 (大边对大角,大角对大边). 6.三角形面积公式 2.三角形解的个数 已知三角形的两边和其中一边的对角,不能唯一确定三角形的形状, 解这类三角形问题将出现无解、一解和两解三种情况,应分情况予以讨论. 在中, 已知a, b和时, 解的情况如下: (1)从代数角度分析 (1) 若 , 则满足条件的三角形的个数为 0 , 即无解; (2)若 , 则满足条件的三角形的个数为 1 ; (3)若 , 则满足条件的三角形的个数为 1 或 2 . 显然由 可得 有两个值, 一个为钝角, 一个为锐角, 考虑 到“大边对大角” “三角形内角和等于”等, 此时需进行讨论. (2)从几何角度分析 为锐角 为钝角或者直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中若为锐角, 当时无解; 若为钝角或直角,当时无解. 【典例剖析】 类型一:求三角形解的个数 1．在中，若，，，则此三角形解的情况为（       ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解 【答案】B 【详解】 由正弦定理可得， ， ， ，， ， 得， 可能为锐角，也可能为钝角， B有两个值， 故选:B. 2．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】 对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解； 对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解； 对于C选项，由正弦定理可得，故无解； 对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解. 故选：B. 3．在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】 由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 4．设分别是的内角A，B，C的对边，根据下列条件解三角形，有两解的是____________ ①，② ③④ 【答案】②④ 【详解】 A：因为， 由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 即A为锐角，只有一解； B： 因为， 由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 即A为锐角或钝角，有两解； C：因为， 由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 即C为锐角，有一解； D：因为， 由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 即A为锐角或钝角，有两解. 故答案为：②④. 类型二:已知三角形解的个数求参数 1．的内角、、的对边分别为、、，，.如果有两解，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如下图所示： 因为有两解，所以，解得. 故选：D. 2．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（       ） A．x>2 B．0<x<2 C．2<x<3 D．2<x<4 【答案】D 【详解】 如图所示： 因为AC=b=2，若三角形有两个解， 则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点， 当时，圆与BA相切，不合题意； 当时，圆与BA交于B点，不合题意； 所以，且， 所以由正弦定理得： ，则， 解得， 故选：D 3．在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，若有唯一解，则有唯一解， 设内角，，所对应的边分别为，，， 由，则为一确定的锐角且，所以， 如图以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件， 如图示：即圆弧与边相切或与圆弧与边相交有2个交点， 其中一个交点在线段的反向延长线上（或在点处），故或， 由，即，得或， 解得或. 故选：． 4．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为________ 【答案】 【详解】 因为，，由正弦定理得， 要使三角形有唯一解，则或，所以或， 即或，解得或. 故答案为：. 【过关检测】 一、单选题 1．在中，，，