第07讲 解三角形(边角转化)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第07讲 边角转化 【必备知识】 1.公式总结 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中 推论$ 2.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中, 3.正弦定理变形及推广 (1); (2)为的外接圆半径); (3)(R为的外接圆半径). 4.三角形中内角的三角函数关系 在 中,,则 (1). (2) (3) (4) 5.三角形中的边角关系 (大边对大角,大角对大边). 6.三角形面积公式 2.解三角形中的边角转化 三角形的要素无非就是三个角和三条边,而解三角形便是紧紧围绕着边与角进行的,边与角的关系密不可分, 所以“边角的转换”可谓是解三角形的核心. 参考公式: (1); (2)为的外接圆半径); (3)(R为的外接圆半径). 【注】从公式可以看出,边的比等于所对角正弦之比,这一点是正弦定理最广泛的应用.但务必注意,边与正弦的相互转换必须在“齐次”的前提下才可以进行,如下面的(1),如果不是齐次式,则只能在齐次的条件下进行相应的转换,如下面的(2). (1)等价于; (2)等价于; (3)无法进行转换. 【典例剖析】 类型一:化角为边 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（       ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】 由正弦定理得，得.由余弦定理，得 ，即. 故选：A. 2．在中，内角所对的边分别为，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由正弦定理得：， 令，，，. 故选：A. 3．已知，，分别为的三个内角，，的对边，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由正弦定理，因为， 所以， ， ， 又 ，， 又，， 所以， ， ， ，当且仅有时，取等号， . 故选：C． 4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若，则的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意得，，由正弦定理得，. ∵，，联立两式，解得，.由余弦定理得，，即，解得：， ∴. 故选：D. 5．已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由正弦定理得：， 即， ，则， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故选：C. 6．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)若，且面积为，求． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解：因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以． (2)解：因为，且面积为，所以， 即，解得， 由余弦定理得，所以， 又由余弦定理得. 类型二:化边为角 1．在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的面积为 故选：C 2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 在中，因为， 由正弦定理，可得，即， 可得， 因为，可得，即， 因为，可得，所以. 故选：C. 3．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】 解：因为，又，所以， 因为，所以，所以，因为， 所以，即，所以或，即或（舍去）， 所以，因为，所以， 所以； 故选：C 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为角A，B，C成等差数列，所以A＋C＝2B． 因为，所以． 因为 ， 因为，所以 所以， 所以， 故． 故选：A 5．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由正弦定理及得，，． 又∵，∴， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 又∵， ∴． 故选：C． 6．在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解析】 (1)， 由正弦定理知，， 即． 又，且．所以， 由于．所以； (2)由余弦定理得：， ． 又，所以 所以. 【过关检测】 一、单选题 1．的角A，B，C所对的边为a，b，c，设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：因为，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因为，所以； 故选：C 2．在中，内角A，B，C