21.2 解一元二次方程 讲义 2021-—2022学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程（二） 解一元二次方程 知识点一 直接开平方法（直接降次法）解一元二次方程 要点1.直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.直接将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程，又称直接降次法. 要点2.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： （1）形如关于x的一元二次方程x2=p，可直接开平方求解. ①若p＞0，则；表示为，，有两个不相等实数根； ②若p=0，则x=0；表示为x1=x2=0，有两个相等的实数根； ③若p＜0，则方程无实数根．　　 　 （2）①形如关于x的一元二次方程(mx+n)2=p (p≥0，m≠0)，可直接开平方求解，两根是 ，. ②形如关于x的一元二次方程(mx+n)2=(px+q)2 (m≠0，p≠0)，可直接开平方求解，得到一元一次方程mx+n=px+q，mx+n=-(px+q). 要点3.直接开方法解一元二次方程的步骤： （1）将方程化为x2=p或(mx+n)2=p (p≥0，m≠0)的形式； （2）直接开平方化成两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解. 课堂练习 1.用直接开方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 知识点二 配方法解一元二次方程 要点1.配方法：将一元二次方程配成(x+a)2=b (b≥0)的完全平方形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 配方法解一元二次方程的理论依据是公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则有(x±b)2=x2±2bx+b2. 要点2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式； （2）将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； （5）两边直接开平方 ①若方程右边是一个正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根； ②若方程右边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根； ③若方程右边是一个负数，那么这个方程就没有实数根. 注意：（1）配方法