专题19 特殊平行四边形-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)

专题19 特殊平行四边形 考向1 矩形 【母题来源】（2021·浙江湖州） 【母题题文】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　） A．π B．π+ C． D．2π 【分析】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可． 【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′， 当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″， ∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''， 在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1， ∴tan∠DBC＝， ∴∠DBC＝30°， ∴∠CBC″＝60°， ∵BC＝BC'' ∴△BCC''为等边三角形， ∴S扇形BC′C″＝＝π， 作C''F⊥BC于F， ∵△BCC''为等边三角形， ∴BF＝， ∴C''F＝tan60°×＝， ∴S△BCC''＝， ∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+． 故选：B． 【母题来源】（2021·浙江台州） 【母题题文】如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（　　） A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24cm2 D．36cm2 【分析】根据题意可知阴影部分的面积＝长方形的面积﹣三角形ABC的面积，根据题中数据计算三角形ABC的面积即可． 【解答】解：根据翻折可知， ∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠PAC， ∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝（∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠PAC）＝180°＝90°， ∵∠α＝60°， ∴∠MAB＝180°﹣∠BAC﹣∠α＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴AB＝＝6（cm）， AC＝＝2（cm）， ∴阴影部分的面积＝S长方形﹣S△ABC＝12×3﹣6×＝（36﹣6）（cm2）， 故选：A． 【母题来源】（2021·浙江绍兴） 【母题题文】图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为 　 　cm（结果保留根号）． 【分析】根据题意即可求得∠FOD＝2∠DOE，即可求得∠DOE＝30°，由矩形的性质结合平行线的性质可求得∠DBC＝30°，利用含30° 角的直角三角形的性质可求解． 【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F， 由题意知∠FOD＝2∠DOE， ∵∠FOD+∠DOE＝90°， ∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°， 在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm， ∴OE∥BC， ∴∠DBC＝∠DOE＝30°， ∴BC＝CD＝cm， 故答案为． 【母题来源】（2021·浙江金华） 【母题题文】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2． （1）求矩形对角线的长； （2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值． 【分析】（1）根据矩形的性质求出AC＝2AO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD； （2）根据勾股定理求出AD，然后根据等腰三角形的性质求得AE，然后解直角三角形求得tanα的值． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO， ∴AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝BO， ∵AB＝2， ∴BO＝2， ∴BD＝2BO＝4， ∴矩形对角线的长为4； （2）由勾股定理得：AD＝＝＝2， ∵OA＝OD，OE⊥AD于点E， ∴AE＝DE＝AD＝， ∴tanα＝＝． 【母题来源】（2021·浙江杭州） 【母题题文】）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝　 　度． 【分析】连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF＝∠MDA，∠MCD＝∠MDC；由折叠可知DF＝DC，可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，可得FM＝FD，进而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理