专题18 平行四边形的性质与判定-备战2022年中考数学母题题源解密(浙江专用)

专题18 平行四边形的性质与判定 考向1 多边形与平行四边形的性质 【母题来源】（2021·浙江丽水） 【母题题文】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是　 　． 【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数． 【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720， 解得：n＝6． ∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7， 故答案为：6或7． 【母题来源】（2021·浙江湖州） 【母题题文】为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 　 　度． 【分析】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数． 【解答】解：如图， ∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形， ∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°， ∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°， ∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°． 故答案为：36． 【母题来源】（2021·浙江衢州） 【母题题文】如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 　 　． 【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质求出∠BCA和∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝36°， 同理∠CBD＝36°， ∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°， 故答案为：72°． 【母题来源】（2021·浙江嘉兴） 【母题题文】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　 　． 【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出AC和OB的长，又AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长． 【解答】解：如图， ∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2， ∴AC＝＝2， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OC＝， 在Rt△OAB中， OB＝＝， 又AH⊥BD， ∴OB•AH＝OA•AB，即＝， 解得AH＝． 故答案为：． 【母题来源】（2021·浙江台州） 【母题题文】如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD． （1）如图2，若点A是劣弧BD的中点． ①求证：▱ABCD是菱形； ②求▱ABCD的面积． （2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切． ①求AB的长； ②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值． 【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． ②求出AC的长，可得结论． （2）①分两种情形：当CD与⊙O相切时，当BC与⊙O相切时，分别利用相似三角形的性质求解即可． ②如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J．想办法求出AJ，HJ即可．如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值． 【解答】（1）①证明：∵＝， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． ②解：连接OA交BD于J，连接OC． ∵＝， ∴OA⊥BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴A，O，C共线， 在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2，OD＝3， ∴OJ＝＝＝1， ∴AJ＝OA﹣OJ＝3﹣1＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AJ＝CJ＝2， ∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×4×4＝8． （2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H，连接OH，OD，延长DO交AB于P，过点A作AJ⊥BD于J． ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∵CD∥AB， ∴DP⊥AB， ∴PA＝PB， ∴DB＝AD＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DH＝BH＝2， ∴OH⊥BD， ∴∠DHO＝∠DPB＝90°， ∵∠ODH＝∠BDP， ∴△DHO∽△DPB， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴DP＝，PB＝， ∴AB＝2PB＝， 当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4． 综上所述，AB的长为4或． ②解：如图3﹣1中，过点A作AJ⊥BD于J． ∵•AB•DP＝•BD•AJ， ∴AJ＝， ∴BJ＝＝＝， ∴JH＝BH﹣BJ＝2﹣＝， ∴tan∠AHJ＝＝＝， 如图3﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角