福建省2022届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一（函数与导数存在问题及应对策略）

2022年高考应对-- 函数与导数存在问题及应对策略 函数作为新课程四大主线之一，是高考考查数学思想方法和能力、考查核心素养的主要载体．对函数和导数考查，主要考查的核心知识为：函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用．函数概念中主要考查函数的定义域、值域、解析式；函数性质中主要考查函数奇偶性、单调性、对称性、周期性；函数图象包含显性与隐性考查；导数应用中主要考查导数的概念及其几何意义，利用导数求单调区间、极值、最值与零点，结合函数的单调性解不等式或证明不等式，求参数范围． 高考对函数与导数的考查难度、题量都相对稳定，一般是两道选择题、一道填空题和一道解答题，分值为27分．其中选择题及填空题为中等难度题或难题，解答题为难题．解答题考查的主要题型结构为：利用导数研究零点问题；利用导数研究证明不等式问题；利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究多变量等问题．函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，重“基础性、综合性、应用性、创新性”，突出“四基、四能、三会、六素养”，与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等都进行深入的考查． 一、存在的问题及原因分析 （一）函数概念及性质的理解不清 高中阶段函数的性质围绕着单调性、奇偶性（对称性）、周期性展开．涉及到求函数值或函数不等式问题，都可以抽象为函数性质的考查，解题的关键基本是利用函数的性质求解． 【例1】【2021年全国新高考Ⅰ卷13】已知函数是偶函数，则______． 【解析】因为，故， 因为为偶函数，故，所以， 整理得到，故． 【评析】本题易错的主要原因：首先，对函数奇偶性的概念掌握不到位，无从下手；其次，由偶函数定义得，由于解题方向不明确或运算的繁杂，不能正确得到，导致无法解决问题． 【例2】【2021年全国新高考Ⅱ卷14】写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【解析】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为，又，故是奇函数，满足③. 故（答案不唯一，均满足）． 【解析】本题易错的主要原因：对基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）定义的理解仅停留在记忆的层面，不能很好的掌握其内涵特征，如指数函数满足，对数函数满足，幂函数满足，导致不能正确解决问题． （二）不能充分挖掘函数本质特征进行解题 挖掘数学本质特征，从某种意义上说就是挖掘隐含条件．所谓隐含条件，是指题中若暗若明，含而不露的条件．一般来说，它们常是巧妙地隐蔽在题设或结论的背后，不易为人们所觉察．在数学解题中，隐含条件具有干扰性、迷惑性，常给问题解决带来消极因素．但隐含条件往往也具有有利于人们解题的潜在功能．问题解决过程中，若能注意到题中隐含条件，往往会使解题结果更具有完整性，准确性；若能充分挖掘并利用题中的隐含条件，它能使题设明朗化和具体化，以便明确解题方向． 【例3】【2015年全国Ⅱ卷理12】设函数，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】由可知是偶函数，且在是增函数， 所以 .故选A. 【评析】本题解题关键在于从观察函数入手，提取函数为偶函数,且在是增函数． 本题易错的主要原因：其一，解题思路不清晰，尝试直接解不等式；其二，无法从题目特征中挖掘隐含条件，既函数的奇偶性和单调性，从而无法解决问题；其三，本题的另一个易错点是忽略增区间为，由得到，导致错误． 【例4】【2020年全国Ⅱ卷理11】若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】由，得，令， 因为为上的增函数，为上的减函数，所以为上的增函数，所以， 因为，所以，所以，则A正确，B错误； 因为与的大小不确定，故CD无法确定.故选A. 【评析】本题易错的主要原因：其一，观察分析能力欠缺，未能挖掘问题中的隐含条件，即未能从题目中挖掘隐含的函数关系特征；其二，未能挖掘函数的单调性，导致问题无法解决． （三）缺乏特例意识寻求优化解题 “特例法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊情形（如特殊值、特殊点、特殊函数、特殊图形等），然后通过简单的运算、推理或验证，找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的．用“特例法”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果．在一些一般性的问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决问题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用． 【例5】【2019年全国Ⅰ卷理5、文5】函数f(x)=在的图象大致为 A． B． C． D． 【解析】因为，所以为奇函数，排除A， 又，排除C，，排除B，故选D. 本题易错的主要原因