福建省2022届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列 （三角函数典例剖析）

2022年高中毕业班数学学科备考关键问题指导 三角函数典例剖析及资源推送 高考全国卷对三角函数的考查，重点在任意角的三角函数的概念、三角函数的图象与性质、三角函数恒等变形求值问题、以及三角函数知识在解三角形中的综合应用．复习中要以三角函数的概念、图象与性质为重点，深刻理解并构建知识网络；要以三角变换为主体，熟练掌握三角函数式的恒等变换；要注意以三角形为载体、三角变换为工具解决斜三角形的计算问题，重视知识的综合应用和相互转化． 一、典例剖析 （1） 同角三角函数关系与诱导公式 【例1】（2021年高考全国新课标1卷6） 若tanθ＝﹣2，则＝（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【解析】由题意可得： ＝ ＝ ＝． 故选：C． 【评析】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin2A+cos2A＝1是解题的关键，属于中等题． 【例2】（2021年高考全国乙卷（文科）6） cos2﹣cos2＝（　　） A． B． C． D． 【解析】法一、cos2﹣cos2 ＝ ＝ ＝． 法二、cos2﹣cos2 ＝cos2﹣sin2 ＝cos＝． 故选：D． 【评析】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题． 【例3】（2020年课标Ⅱ文13）若，则　 　． 【解析】由，又由，，． .三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容．在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形，如，，，等； 二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如，，等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、“化异为同”等． 本题解题关键在于应用同角三角函数基本关系，解出，由此可选择余弦函数二倍角公式的任一种形式解决问题. 本题易错的主要原因：对二倍角公式在三角函数化简求值的应用不熟练，从而无法解决问题. 【例4】【2021年浙江模拟】若，则 A． B． C． D． 【解析】由，，,故选B. 【评析】本题考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用及转化思想.三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容．在三角恒等变换中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的变形， 如，，， 等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如，，等；三要关注常用的解题思路，如“1”的代换、“正切为弦”、“化异为同”等．三角恒等变换的核心是角的变化，注意角的变化，灵活地选用三角公式是正确进行三角恒等变换的关键． 【例5】已知是三角形的内角，且． （1）求的值； （2）将用表示出来，并求其值． 【解析】（1）由，得，即， 又是三角形的内角，所以，则， 故．因此可解得，，所以． （2），由（1）可得． 【评析】本题主要考查同角三角函数关系与三角恒等变换等基础知识和基本方法，考查与关系，考查同角关系另一功能——切弦互化．解题的关键是巧用的正负以及三角形内角条件，推断出，的符号． 【例6】若，则= A． B． C． D． 【解析一】. 【解析二】换元法，记， 则. 【评析】利用诱导公式化简求值时的原则： （1）“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数； （2）“大化小”，利用k·360°＋α（k∈Z）的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数； （3）“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． （二）简单的三角恒等变换 【例7】（2021年高考全国甲卷（理科）9）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【解析】由tan2α＝，得， 即， ∵α∈（0，），∴cosα≠0， 则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝， 则cosα＝＝， ∴tanα＝． 故选：A． 【评析】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题，把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解sinα，进一步求得cosα，再由商的关系可得tanα的值． 【例8】（2021年高考北京卷14） 若点A（cosθ，sinθ）关于y轴的对称点为B（cos（θ+），sin（θ+）），则θ的一个取值为 　（答案不唯一）　． 【解析】因为P（cosθ，sinθ）与Q（cos（θ+），sin（θ+））关于y轴对称， 故其横坐标相反，纵坐标相等， 即sinθ＝sin（θ+）且cosθ＝﹣cos（θ+）， 由诱导公式sinα＝sin（π﹣α），cosα＝﹣cos（π﹣α）， 所以θ+＝π﹣θ，解得θ＝， 则符合题意的θ值可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【评析】利用点关于y轴对称，可知横坐标相反，纵坐标相等，利用诱导公式分析求解，写出一个符合题意的角即可．本题考查了三角函数的化简，三角函数诱导公式的应用，点关于线的对称性问题． 【例9】设，且，则 A． B．