专题05 外接球-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题05 外接球 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】 球定义型 1 【题型二】 长方体模型1：三线垂直 3 【题型三】 长方体模型2：四个表面直角三角形型 5 【题型四】 长方体模型3：对棱相等或等边直角三角形构造长方体型 7 【题型五】 棱锥模型1：三棱锥 9 【题型六】 棱锥模型2：正四棱锥（或圆锥）型 10 【题型七】 棱锥模型3：面面垂直型 12 【题型八】 线面垂直型1：直棱柱（圆柱）型 15 【题型九】 线面垂直型2：棱锥型 16 【题型十】 内切球 18 【题型十一】 圆台型 21 【题型十二】 综合构造型 22 二、最新模考题组练 25 【题型一】球定义型 【例1】 矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形中，由，设交于，由于到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，由此能求出四面体的外接球的体积． 【详解】如图： 矩形中，因为， 所以， 设交于，则是和的外心， 所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径， 所以四面体的外接球的体积.故选:A. 【例2】 矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，则由矩形的性质可知，所以可得为四面体外接球的球心，求出的长可得球的半径，从而可求出球的体积 【详解】解：设的中点为，连接， 因为四边形为矩形，所以，， 所以为四面体外接球的球心， 因为，所以， 所以，所以面体外接球的半径为， 所以该四面体外接球的体积为， 故选：A 【例3】 若正方体的棱长为2，，，，分别为棱，，，的中点，则四面体的外接球的半径为（       ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】由正方体的性质可知正方体的中心为到每条棱的中点的距离都相等，从而可求出外接球的半径 【详解】设正方体的中心为.则易得. 即四面体外接球的半径为.故选：A. 【例4】 已知四面体中，，且，则该四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理及逆定理、直角三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、球的体积公式进行求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以是以为斜边的直角三角形， 因此， ， 因为，所以有，即，即是以为斜边的直角三角形，显然有， 因为，，平面 ， 所以平面，因为的中点是 ，所以且， 因此平面，而平面，所以，即是以为斜边的直角三角形，所以， 于是有，所以点是四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的体积为，故选：B 【题型二】 长方体模型1：三线垂直型 【例1】 正方体的棱长为2，则它的外接球半径为（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】正方体外接球直径为正方体的体对角线，直接求即可. 【详解】正方体外接球直径为正方体的体对角线，故， 故选：B. 【例2】 已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，即得解. 【详解】正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球， 所以外接球的直径， 所以,外接球的表面积，故选：C 【例3】 在三棱锥A-BCD中，已知AB、AC、AD两两垂直，且BCD是边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（       ） A．12π B．4π C．6π D．π 【答案】D 三棱锥的侧棱两两垂直，则底面为等边三角形，所以三棱锥可以补成正方体，且两者的外接球是同一个，求出正方体的外接球半径即可求出外接球的体积. 【详解】解：由条件可知，三棱锥为正三棱锥，且可以补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的体对角线就是外接球的直径. 设，则，，即有，所以 则三棱锥的外接球的直径为， 则，所以体积. 故选：D 【例4】 已知三棱锥，平面，且，在中，，，且满足，则三棱锥外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 先证明，设三棱锥外接球的半径为,把此三棱锥放到长方体中，使三棱锥的四个顶点恰好是长方体的四个顶点，解方程即得解. 【详解】由且，则， 则，设三棱锥外接球的半径为,把此三棱锥放到长方体中，使三棱锥的四个顶点恰好是长方体的四个顶点，则， 则.故选：C 【题型三】 长方体模型2：四个表面直角三角形 【例1】在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（       ） A．100π B．50π C．144π D．72π 【答案】A 【分析】根据三棱锥的几何