专题03 向量三大“定理”及综合应用-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题03 向量三大“定理”及综合应用 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】奔驰定理 2 【题型二】 极化恒等式 3 【题型三】等和线 5 【题型四】 奔驰定理 综合难题 6 【题型五】极化恒等式综合题 10 【题型六】等和线综合题 12 【题型七】投影向量 14 二、最新模考题组练 16 综述 1． 奔驰定理 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 二、极化恒等式 基础知识： 简化：在△中，是边的中点，则. 三、等和线 等和线原理： 四、投影向量 1.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 2.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为. 3.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积. 【题型一】奔驰定理 【例1】 设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ） A．9 B．8 C． D．7 【答案】A 【详解】方法一延长OC到D，使得OD=2OC,因为，所以， 以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,因为,所以, 因为OC:AE=1:2,所以OH:HE=1:2,所以,所以, 所以的面积是面积的，所以的面积为9.故选：A 方法二：奔驰定理,所以的面积为9.故选：A 【例2】 在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是（ ） A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3 【答案】D 【解析】 取 中点 ,则由 得 ,所以, 在线段上,因此 ，选D. 方法二：极化恒等式可得面积比为1:3，所以选D. 【例3】 在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 【题型二】 极化恒等式 【例1】 已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） 解析：取的中点，连接，，取的中点，连接， 由△是边长为2的等边三角形，为中线的中点， 则 ， 所以 . 【例2】 在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则的值是________. 【答案】【解析】解法一：基底法 令，则，则 ， 则 由，可得，因此， 因此. 解法二：极化恒等式 ， 解得：所以. 【例3】 已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由球的半径为1， 是球面上的两点，且，可得 ， ,故选B. 【例4】 如图，已知正方形的边长为2，为的中点，以为圆心，为半径，作圆交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值是____________. 【解析】当三点共线时最小，此时 【题型三】 000等和线 【例1】 如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】，因为三点共线，所以，因此，选B. 【例2】 在中，已知D是AB边上一点，若，，则＝ A． B． C． D． 四川省遂宁市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】D 【解析】因为A,D，B三点共线，所以。选D. 【例3】 设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ） A．， B．， C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，所以可化为： 整理得：，即：又点在线段的延长线上，所以与反向， 所以，故选：A 【例4】 .如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 连接并延长分别交圆