专题04 菱形与正方形的性质和判定（知识点梳理+典例分析+变式训练）-2021-2022学年八年级数学下学期期中期末满分必刷常考压轴题（人教版）

专题04 菱形与正方形的性质和判定 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识梳理】 （一）菱形的概念和性质 1. 概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.性质： 边：菱形的四条边都相等． 对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． （二）菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）． 3. 四条边相等的四边形是菱形（边） （三）正方形的概念和性质 1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 （四）正方形的判定 判定方法： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 （4）有一组邻边相等的矩形是正方形 （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 【典例剖析】 考点1 菱形的性质 【典例1】（2021秋•沈北新区期末）菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　） A．cm B．2cm C．1cm D．2cm 【答案】B 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8cm， ∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2cm， ∴OA＝1（cm）， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm）， ∴BD＝2OB＝2（cm）， 故选：B． 【变式】（2021秋•太平区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标是 　 　． 【答案】（6，2） 【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D， ∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0）， ∴OA＝AB＝4，AB∥OC， ∴∠BAD＝∠AOC＝60°， ∵BD⊥OA， ∴∠ABD＝30°， ∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2， ∴DO＝6， ∴点D坐标为（6，2）， 故答案为：（6，2）． 【典例2】（2021春•路南区期中）如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为24， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BO＝DO，AC⊥BD， ∵点E是AD中点，BO＝DO， ∴OE＝AB＝3， 故选：C． 【变式1】（2021秋•顺德区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AD上的中点，则OH的长度为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．5 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO， 又∵点H是AD中点， ∴OH＝AB， 在Rt△AOB中，AB＝＝5， 则OH＝AB＝2.5， 故选：C． 【变式2】（2021秋•晋中期中）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF＝60°，则∠C的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF， ∴BC＝BF， ∴∠C＝∠BFC， 设∠ABE＝∠CBF＝α， ∵∠EBF＝60°， ∴∠ABC＝2α+60°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α， ∴∠BFC＝∠C＝120°﹣2α， ∵∠C+∠BFC+∠CBF＝180°， ∴120°﹣2α+120°﹣2α+α＝180°， ∴α＝20°， ∴∠C＝80°， 故选：B． 【典例3】（2021春•仪征市期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【解答】解：设AC，BD交于O，