专题9.11 中心对称图形—平行四边形章末重难点突破-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题9.11 中心对称图形—平行四边形章末重难点突破 【苏科版】 【考点1 利用四边形性质求线段长度】 【例1】（2021春•张店区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DGAB，根据三角形中位线定理得到MNFG，由勾股定理求出FG即可得到MN． 【解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM， ∵M为DE的中点， ∴ME＝MD， 在△AEM和GDM中， ， ∴△AEM≌△GDM（AAS）， ∴AM＝MG，AE＝DGABCD， ∴CGCD， ∵点N为AF的中点， ∴MNFG， ∵F为BC的中点， ∴CFBC， ∴FG2， ∴MN＝1， 故选：B． 【变式1-1】（2021春•越城区期末）如图，边长为10的菱形ABCD，E是AD的中点，O是对角线的交点，矩形OEFG的一边在AB上，且EF＝4，则BG的长为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【分析】由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，由直角三角形的性质可求OE＝AEAD＝5，由矩形的性质可求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF＝3，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB＝AD＝10， ∴∠AOD＝90°， ∵E是AD的中点， ∴OE＝AEAD＝5； ∵四边形OEFG是矩形， ∴FG＝OE＝5， ∵AE＝5，EF＝4， ∴AF， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2， 故选：B． 【变式1-2】（2021春•岳西县期末）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，CD＝3，则DF的长为（　　） A．8 B．9 C．4 D．2 【分析】根据矩形的性质和点G是DF的中点，可得AG＝DG＝GF，由勾股定理列式求出AE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠ADG，然后求出∠AED＝∠AGE，根据等角对等边可得AE＝AG，进而得出DF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAF＝90°， ∵点G是DF的中点， ∴AG＝DG＝GF， ∴∠GAD+∠GDA， 在△ADG中，∠AGE＝∠ADG+∠DAG＝2∠ADG， 又∵∠AED＝2∠CED， ∴∠AED＝∠AGE， ∴AE＝AG， ∵BE＝1，CD＝AB＝3， 在Rt△AEB中，由勾股定理得， AE， ∴AG， ∴DF＝2． 故选：D． 【变式1-3】（2021•河池）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】由于BF⊥EF，所以过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，证明△MFE≌△NBF，设ME＝x，利用MN＝4列出方程，即可求解． 【解答】解：过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，如图， ∵ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝BC＝CD＝4， ∴四边形CMNB为矩形， ∴MN＝BC＝4，CM＝BN， ∵BF⊥EF， ∴∠EFB＝∠FNB＝90°， ∴∠FBN+∠NFB＝∠NFB+∠EFM， ∴∠FBN＝∠EFM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠MFC＝∠MCF＝45°， ∴MF＝MC＝NB， 在△MEF与△NFB中， ， ∴△MFE≌△NBF（AAS）， ∴ME＝FN， 设ME＝FN＝x，则MC＝MF＝BN＝1+x， ∵MN＝MF+FN＝4， ∴1+x+x＝4， ∴x， ∴FN， ∵四边形ABCD为正方形，MN⊥AB， ∴∠NAF＝∠NFA＝45°， ∴FN＝AN， ∴AFFN， 故选：B． 【考点2 利用四边形性质求角的度数】 【例2】（2021春•靖宇县期末）如图，在正方形ABCD的外侧，以AD为边作等边三角形ADE，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，则∠CFD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据SAS证明△BCF与△DCF全等，利用正方形的性质和等边三角形的性质以及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF＝45°， 在△BCF与△DC