6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（配套课件）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

第六章 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 INNOVATIVE DESIGN 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直. 课标要求 素养要求 通过推导数量积的坐标运算、求夹角和模及向量垂直的判断，体会逻辑推理素养及数学运算素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____________. x1x2＋y1y2 自主梳理 /////// 索引 2.平面向量坐标表示的几个公式 x2＋y2 索引 点睛 (1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；(2)θ为钝角或θ＝π⇔x1x2＋y1y2<0.　　　 索引 3.向量垂直的条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔____________________. x1x2＋y1y2=0 索引 1.思考辨析，判断正误 × (1)向量的模等于向量坐标的平方和.( ) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( ) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.( ) 提示　(1)向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根. (2)只有a与b为非零向量时才正确. (3)当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，但不是钝角. × × 自主检验 /////// 索引 C 解析　由3a·b＝4，得(6，－9)·(x，2x)＝－12x＝4. 索引 D 索引 2 索引 课堂互动 题型剖析 2 13 题型一　平面向量数量积的坐标表示 【例1】　已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a. 解　(1)∵a与b同向，又b＝(1，2)， ∴可设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0). 又∵a·b＝10，∴1·λ＋2·2λ＝10， 解得λ＝2>0，∴a＝(2，4). (2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，∴(b·c)·a＝0. /////// 索引 1.进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系. 2.向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法. 思维升华 索引 【训练1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A.10 B.－10 C.3 D.－3 解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. B 索引 题型二　计算平面向量的模 C 5 (2)∵a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，且y＝1.∴a＝(2，1). /////// 索引 思维升华 索引 B 解析　因为a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b， 所以2x＋2＝0，解得x＝－1， 索引 【例3】　已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD； 题型三　平面向量的夹角与垂直 证明　因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， 即AB⊥AD. /////// 索引 (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值. 索引 思维升华 索引 因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4). 索引 解　因为(a＋2b)⊥(2a－b)， 所以(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π. 索引 1.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.　 课堂小结 索引 分层训练 素养提升 3 26 B 解析　设a，b的夹角为θ， 基础达标 /////// 索引 12 13 14 07 08 09 10 11 01 02 03 04 05 06 27 2.已知向量a＝(－1，1)，b＝(1，m)，若(a－b)⊥a，则实数m的值是(　　) A.3 B.－3 C.1 D.－1 解析　a－b＝(－2，1－m).∵(a－b)⊥a，