6.2.4 向量的数量积（配套课件）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

第六章 6.2.4　向量的数量积 INNOVATIVE DESIGN 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.利用向量数量积的运算律、性质进行向量计算或证明. 课标要求 素养要求 1.通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念，进一步体验数学抽象及数学运算素养. 2.引入平面向量的投影及其运算律，体会直观想象及数学运算核心素养. 3.借助向量的数量积解决某些简单问题，培养学生的数学逻辑推理核心素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.两向量的夹角 ∠AOB＝θ(0≤θ≤π) (2)显然，当θ＝0时，a与b______；当θ＝π时，a与b______. 同向 反向 垂直 a⊥b 自主梳理 /////// 索引 点睛 索引 2.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝___________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____. |a||b|cos θ 0 索引 3.投影向量 图(1)　　 　　　　　图(2) 索引 |a|cos θ e 索引 点睛 (1)向量的数量积是一个实数，其值可正、可负、可为0. (2)数量积“a·b”不能写成“ab”或“a×b”.　　　 索引 4.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝________； (2)a⊥b⇔_________； |a|cos θ a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a|2 (4)|a·b|____|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). ≤ 索引 5.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 索引 1.思考辨析，判断正误 (1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.( ) (2)a·0＝0.( ) (3)a·(b·c)＝(a·b)·c.( ) √ × × √ 提示　(2)两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0. (3)三个向量的数量积的结合律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c. 自主检验 /////// 索引 B 索引 3.已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　　) A.a＝b B.|a|＝|b| C.a⊥b D.a∥b B 解析　∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， ∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|. 索引 解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0， ∴a·b＝－a2＝－1.设a与b的夹角为θ， 索引 课堂互动 题型剖析 2 17 题型一　平面向量的数量积 角度1　平面向量数量积的计算 【例1】　(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 B 解析　∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1， ∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3. /////// 索引 D 解析　∵E，F是菱形ABCD中，边BC，CD的中点. 索引 1.运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，求解时要灵活运用数量积的运算律. 2.若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算. 思维升华 索引 角度2　投影向量 【例2】　已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________. 索引 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量). 思维升华 索引 【训练1】　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，b方向的单位向量为e. (1)求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值； (2)求a在b上的投影向量. 解　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2 ＝|a|2－|a||b|·cos 120°－2|b|2 ＝25－(－10)－2×42＝3. (2)a在b上的投影向量为 索引 题型二　向量模的计算 解析　∵a·(a－2b)＝0，