6.2.3 向量的数乘运算（配套课件）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

第六章 6.2.3　向量的数乘运算 INNOVATIVE DESIGN 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 课标要求 素养要求 通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提升数学运算素养及数学抽象素养. 2 课前预习 课堂互动 分层训练 内容索引 3 课前预习 知识探究 1 4 1.向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①____________. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向______； 当λ<0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____. 向量 |λa|＝|λ||a| 相同 相反 0 自主梳理 /////// 索引 点睛 索引 (2)设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝________； ②(λ＋μ)a＝____________； ③λ(a＋b)＝____________. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. λμa λa＋μa λa＋λb 索引 2.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__________. b＝λa 点睛 规定0向量与任意向量共线.　　　 索引 3.向量的线性运算 向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________________. 加、减、数乘 λμ1a±λμ2b 索引 1.思考辨析，判断正误 × (1)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数).( ) (2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数).( ) (3)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( ) 提示　(1)若λa＝0，则a＝0或λ＝0. (3)当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.当a＝0，b≠0时，不存在实数λ. √ × 自主检验 /////// 索引 2.已知非零向量a，b满足a＝4b，则(　　) A.|a|＝|b| B.4|a|＝|b| C.a与b的方向相同 D.a与b的方向相反 解析　∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|. ∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同. C 索引 C 索引 A，B，D ∴A，B，D三点共线. 索引 课堂互动 题型剖析 2 14 题型一　向量的线性运算 9a /////// 索引 1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段. 2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 思维升华 索引 B 0 (2)由题设得2x－a－b＝x－a－b，则x＝0. 索引 题型二　向量共线的判定及应用 (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0. /////// 索引 思维升华 索引 (2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 索引 题型三　用已知向量表示其他向量 /////// 索引 索引 1.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何中的有关定理，将所求向量反复分解，直到可以用已知向量表示，其实质是向量的线性运算的应用. 2.若直接表示向量较困难时，可考虑设出未知向量，表示已知向量，建立向量的等量关系，求解关于所求量的方程. 思维升华 索引 索引 课堂小结 索引 分层训练 素养提升 3 26 一、选择题 1.下列说法中正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数) B.若a，b共线，则b＝λa(λ为实数) C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a D.若b＝±2a，则|b|＝2|a| 解析　显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|. D 基础达标 /////// 索引 12 13 14 07 08 09 10 11 01 02 03 04 05 06 27 2.下列各式计算正确的有(　　) ①( －7)6a＝－42a；②7(a＋b