必考点04 空间向量用坐标系解决夹角问题-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点04 空间向量用坐标系解决夹角问题 题型一 异面直线所成角 例1．如图，在直三棱柱中，，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）知，， 设的法向量为，则， 令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 例2．如图，在正方体中，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：在正方体中，，分别是，的中点． 取中点，连接，，如图， 则，，，， ，，四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）连接，取中点，连接，，，，分别为，中点，则， 是异面直线与所成角或补角， 设，则，， ，， 在△中，由余弦定理得， 异面直线与所成角的余弦值为． 【解题技巧提炼】 求异面直线夹角的方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． (2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝. 题型二 利用空间向量求直线与平面所成的角 例1．在四棱锥中，，，二面角的大小为，且，． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 则，，，平面，， 所以平面，平面， 所以． （2）解：以为原点，直线，分别为，轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，则，，，，，0，，，1，，，1，， ，，． 设平面的法向量， 则令，则，． 故取． 设与平面所成的角，则． 故与平面所成角的正弦值为． 例2．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点． （1）求证：平面； （2）若侧面底面，且，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取线段的中点，连，， 在中，，分别为，的中点，且， 又底面是菱形，且为的中点，且， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面． （2）在平面内过点作，由已知可证得且平面， 故分别以、、所在线分别为，，轴建立空间坐标系， 则，，， 设平面的一个法向量，，，可得，不妨取， ， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解题技巧提炼】 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u. (3)求平面的法向量n. (4)设线面角为θ，则sin θ＝ . 题型三 利用空间向量求二面角 例1．在四棱锥中，平面平面，是线段上靠近的三等分点，为中点，其中，，． （1）求证：平面； （2）求锐二面角余弦值． 【答案】（1）如图，连接交于，连接，分析底面可得， 其中，，，，为上靠近的三等分点， ，，，平面，平面，可得平面， （2）取的中点，连接，， 如图以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 其中，，，过做面投影，，故是上靠近的三等分点， 其中，，，，0，，，，，，，，，0，， ，，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，令，则，， 平面的一个法向量为，1，， 又，，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， ，令，则，， 平面的一个法向量为，2，， ，． 例2．如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若点为的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明：，，， ，． ，，平面，而在平面中， ，，且，都在平面内， 平面． （Ⅱ）解：以点为原点，以为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，0，，，0，，，，3，，，，0， ，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 平面与平面所成二面角为， 则，可取， ，可取 ，则． 【解题技巧提炼】 求两平面夹角的两种方法 (1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同． (2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉 题型一 异面直线所成角 1．如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点为棱的中点，点为弧的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与圆柱底面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为在圆柱中，轴截面是正方形，点为弧的中点， 所以、、两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，0，，，1，，，，，，0，， ，1，，，1， 设异面直线与所成角的大小为，， 因为，， 所以，所以． （2）因为，，，圆柱底面的法向量是，0，， 所以直线与圆柱底面所成角的正弦值为． 2．如图，已知直四棱柱