必考点02 空间向量运算经典考题（二）-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点02 空间向量运算经典考题（二） 题型一 求空间点的坐标 例1．设点，1，，，1，，，0，．若，则点的坐标为　　 A．，0， B．，2， C．，0， D．，， 【答案】B 【解析】设，，，则，，， 因为，，1，， 所以，1，，，， 所以，，，即点为，2，． 故选B． 例2．画一个正方体，使坐标轴的方向分别是射线，，的方向，以棱，，所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长作为单位长度，建立空间直角坐标系： （1）求这个正方体顶点的坐标； （2）求棱中点的坐标； （3）求面对角线交点的坐标． 【答案】（1）这个正方体顶点，，，，，，，的坐标分别为： ，0，，，0，，，1，，，1，， ，0，，，0，，，1，，，1，． （2）棱中点的坐标，1，． （3）面对角线交点的坐标为，0，． 【解题技巧提炼】 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M的坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． 题型二 空间点的对称问题 例1．在空间直角坐标系中，已知点，，，那么下列说法正确的是　　 ①点关于轴对称的点的坐标是，， ②点关于平面对称的点的坐标是，，． ③点关于平面对称点的坐标是，， ④点关于原点对称点的坐标是，，． A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】空间直角坐标系中，点，，； 对于①，点关于轴对称的点的坐标是，，，①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，，，②错误； 对于③，点关于平面对称点的坐标是，，，③正确； 对于④，点关于原点对称点的坐标是，，，④正确； 综上知，正确的命题序号是③④． 故选D． 例2．关于空间直角坐标系中的一点，2，有下列说法： ①的中点坐标为，； ②点关于轴对称的点的坐标为，，； ③点关于坐标原点对称的点的坐标为，2，； ④点关于平面对称的点的坐标为，2，． 其中正确说法的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】空间直角坐标系中，点，2，，则： 对于①，的中点坐标为，，正确； 对于②，点关于轴对称的点的坐标为，，，②错误； 对于③，点关于坐标原点对称的点的坐标为，，，③错误； 对于④，点关于平面对称的点的坐标为，2，，正确． 综上，正确的说法序号是①④． 故选B． 【解题技巧提炼】 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型三 空间向量的坐标 例1．已知点，的坐标分别为，3，，，，，则向量的相反向量的坐标是　　． 【答案】 【解析】点，的坐标分别为，3，，，，， ，，， 向量的相反向量的坐标，4，． 故答案为：，4，． 例2．已知，5，，，，，设在线段的一点满足，则向量的坐标为　　． 【答案】 【解析】，， ，，，，，，， ． 故答案为：． 【解题技巧提炼】 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 题型四 空间向量的坐标运算 例1．已知为坐标原点，，，三点的坐标分别是，，，，5，，，2，，求点坐标．使： （1）； （2） 【答案】（1）设点，，，，6，，，3，， ，3，，，， 点的坐标为，，； （2）由（1）知，，，， ，，， ，，，，，，， 点的坐标为，，． 例2．已知空间四点，，，的坐标分别是，2，，，3，，，，，，，，若，．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）空间四点，，，的坐标分别是，2，，，3，，，，，，，， ，1，，，0，， ，1，，0，，1，； （2），3，，0，，3，； （3），1，，1，． 【解题技巧提炼】 空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定； (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 题型五 空间平行垂直问题 例1．已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为： ，0，，，1，，，0，，，，0，，，0，0，， ，，，，1，，，0，． （1） ，即， 又平面，平面， 平面； （2）， ， ，，平面． 例2．在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求