第13讲 用样本估计总体（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第13讲用样本估计总体（核心考点讲与练） 一、用样本的频率分布估计总体的频率分布 1.频率分布直方图 1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且； ③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组． ④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。 2）频率分布直方图的特点： ① ②个小长方形的面积等于1， ③． 3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义． 4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律． 2.茎叶图 1）制作茎叶图的步骤： ①将数据分为“茎”、“叶”两部分； ②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出． 2）茎叶图的优点： ①没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到； ②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示 二、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.用样本的平均数估计总体平均数 1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； 2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为； 4）众数、中位数、平均数的异同： ①众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量； ②平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动； ③众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题； ④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势； ⑤实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。 5）平均数相关结论： ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 2.用样本的标准差估计总体的标准差 1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； 2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； 3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； 一般地，设样本的数据为，样本的平均数为， 定义样本方差为； 简化公式： =（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） 4）样本的标准差是方差的算术平方根． 样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． 5）方差相关结论： ①如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 考点一：总体取值规律的估计 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在上的频率为 A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64 2．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（       ） A． B． C． D． 3．（2021·江苏省梅村高级中学高一期中）某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为 A．2800 B．3000 C．3200 D．3400 4．（2021·全国·高一课时练习）为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，