10.1 随机事件与概率 -【高分突破系列】2021-2022学年高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第二册)

概率 1 随机事件与概率 ① 有限样本空间与随机事件 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示， 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果结果,则称样本空间为有限样本空间. 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母表示. ②各种事件 必然事件，不可能事件，随机事件. 在件瓷器中，有件一级品，件二级品，从中任取件. “件都是二级品”是什么事件？ “件都是一级品”是什么事件？ “至少有一件是一级品”是什么事件？ 解：(1)因为件瓷器中，只有件二级品，取出件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. (2)“件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件. (3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为件瓷器中只有件二级品，取三件必有一级品. ③ 事件的关系和运算 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作； 一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作. 一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作. 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容). 一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为. ④ 古典概型 (1) 古典概型的特点 有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (2) 古典概型事件的概率 ⑤ 概率的基本性质 性质1 对任意事件，都有 性质2 必然事件的概率为，不可能事件的概率为； 性质3 若事件与事件互斥时，则. 性质4 若事件与事件对立事件，则 性质5 如果,那么 性质6 设是一个随机试验中的两个事件，有 【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解 【典题1】 从位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是(　　) A．3位都是女生 B．至少有1位是女生 C．3位都不是女生 D．至少有1位是男生 【解析】由于从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人， 有3位男生，2位男生1位女生，1位男生2位女生，共三种情况 故A为不可能事件，B，C为随机事件，D为必然事件． 故答案为 【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 【解析】对于，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件. 【点拨】对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. 【典题3】 如果事件，互斥，记分别为事件，的对立事件，那么(　　) ．是必然事件 是必然事件 . 与一定互斥 . 与一定不互斥 【解析】 用图解决此类问题较为直观．如右图所示，是必然事件，故选B. 【点拨】利用集合的关系看事件之间的关系会更直观. 【题型二】求古典概型 【典题1】 先后投掷两枚骰子，出现的点数记作，设． (1)求 的概率； (2)试列举出的所有可能的结果; (3)求或 的概率． 【解析】(Ⅰ)先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 共有种可能结果， 而有6结果，为， (也可以使用树状图 ) 所以， (Ⅱ)的所有可能的结果有， 共有种情况， (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，的所有可能的结果有3种，为， 的所有可能的结果有， 【点拨】根据古典概型事件的概率，一般都用穷举法，比如列树