必考点06 特殊的平行四边形的性质与判定-【对点变式题】2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练（人教版）

2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练 必考点06 特殊的平行四边形的性质与判定 ●题型一 矩形的性质和判定 ◎◎利用矩形的性质进行计算或证明◎◎ 【例题1】如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，则矩形的周长是 ，面积是 ． 【答案】，. 【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积. 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3， ∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD， ∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，∴AB=AC=3， 由勾股定理得：BC= ，∴AB=DC=3，AD=BC=， ∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+ ， 矩形ABCD的面积是AB×BC=3×= ． ◎◎利用矩形的判定进行计算或证明◎◎ 【例题2】（2021春•黔南州期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD 【答案】C． 【分析】由矩形的判定方法判断即可. 【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C． ∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意； D、 ∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C． ◎◎矩形的性质和判定的综合运用◎◎ 【例题3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，E为边BC上一点，且EC=AD， 连接AC． （1） 求证：四边形AECD是矩形； （2）若AC平分∠DAB，AB=5，EC=2，求AE的长. 【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D=90°，从而判定矩形； （2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可． 【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，EC=AD， ∴四边形AECD是平行四边形． 又∵∠D=90°， ∴四边形AECD是矩形． （2） ∵AC平分∠DAB． ∴∠BAC=∠DAC． ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB． ∴∠BAC=∠ACB． ∴BA=BC=5． ∵EC=2， ∴BE=3． ∴在Rt△ABE中，AE=． 【解题技巧提炼】 1．矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 2．矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 提示：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． ●题型二 直角三角形斜边上的中线的性质 ◎◎利用直角三角形斜边上的中线的性质进行计算◎◎ 【例题4】（2021秋•甘井子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，BC＝4，则DE的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A． 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求解AB的长，结合斜边上中点的性质可求解CD＝AD＝4，再根据30°角的直角三角形的性质可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝8， ∵点D是斜边AB的中点， ∴CD＝AD＝AB＝4， ∵DE⊥AC，垂足为E， ∴DE＝AD＝2，故选：A． ◎◎利用直角三角形斜边上的中线的性质进行证明◎◎ 【例题5】（2021秋•宁波期末）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点， 求证：MN⊥BD． 【分析】连接BM、DM，根