专题2.4 数列-结构不良型-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题2.4 数 列-结构不良型 1．等差、等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 2．给出与的递推关系，求an，常用思路是一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an． 3．求数列的前项和常见思路： （1）对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解； （2）等差数列等比数列时，常采取分组求和法； （3）等差数列等比数列时，常采取错位相减法； （4）裂项相消法．用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，看它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后的表达式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式的最简结果． 1．已知正项数列的前n项和为，给出以下三个条件：①，；②；③，．从这三个条件中任选一个解答下面的问题． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【试题来源】2022届高三普通高等学校招生全国统一考试 数学预测卷（四） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据所选条件构造数列或利用与关系求解，（2）根据题意求和，使用裂项相消法. 【解析】（1）若选①：由，得． 令，，可得． 当时，，，…，， 累加得． 又，则，则． 又也适合上式，所以． 若选②：由，可得． 又是正项数列，所以，所以，则． 当时，． 又也适合上式，所以． 若选③：由得，当时，，两式作差得 ，整理得． 由于，故，即是首项为1，公差为2的等差数列，所以． （2）由（1）得，， 则， 所以 ． 2．在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知数列的前项和为，满足___________．记数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求证：． 注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分． 【试题来源】四川省宜宾市2022届高三第二次诊断测试 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）选择①则利用退位相减法求，选择②则先求，再求（2）利用裂项相消法先求，所要证明的不等式右端可以通过放缩证明，左端利用的单调性可证． 【解析】（1）选择① 由有 当时，，解得 当时，， 所以， 即，两边各项同除以得 （）， 当时， ， 经检验当时，也成立，故 选择② 由 所以或， ，所以舍去，， 当时，， 当时，， 当时，符合上式， （2）选择① 由（1）知，已知， ， ，， ， 另一方面，是关于的增函数， 综上有： 选择② 由（1）知，， ， ， 另一方面，是关于的增函数， . 综上有：． 3．己知等差数列的公差为正实数，满足，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，若，且___________，求数列的前项和为，以下有三个条件：①；②；③从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列为等比数列，并根据题意解决问题． 【试题来源】辽宁省大连市第二十四中学等校2022届高三高考联合模拟考试 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求得公差，从而可得出答案； （2）根据数列通项与数列前项和的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法即可得出答案． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以，即， 解得（负值舍去），所以，所以； （2）选①，由， 当时，， 当时等式也成立，所以， 则，所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 选②，由， 当时，，所以， 所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以， 则， 以下步骤同①． 选③，由，得，两式相减得， 又，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列， 所以，则， 以下步骤同①． 4．①公比为2，且是与的等差中项；②且为递增数列，在①②中任选一个，补充在下列横线上并解答． 已知等比数列中，为数列的前项和，若___________． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求证：． 【试题来源】海南省琼海市嘉积中学2022届高三下学期四校联考 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）选条件①，根据给定条件，利用等差中项的定义列式求出首项即可作答． 选条件②，根据给定条件，求出数列的公比并判断作答．（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和推理作答． 【解析】（1）选条件①：因为是与的等差中项，即， 依题意，，解得， 所以数列的通项公式是． 选条件②：设公比为，依题意，， 解得或，因为数列是递增数列，于是得， 所以数列的通项公式是． （2）由（