专题2.3 数列-常规型-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题2.3 数 列-常规型 1．（1） 等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换； （2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 2．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法． 3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解，这也是考查频率比较高的考查点． 1．已知数列满足，． （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【试题来源】河北省保定市部分学校2022届高三下学期3月联考 【答案】（1）证明见解析，（2） 【分析】（1）由，由此可得，即可完成证明；（2）先求解出的通项公式，由此可求的通项公式，采用分组求和的方法求解出． 【解析】（1）， 又，故数列是首项为，公比为3的等比数列； （2）由（1）有，可得， 所以有． 2．记数列的前项和为，，，． （1）证明数列为等差数列，并求通项公式； （2）记，求． 【试题来源】江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期12月月考 【答案】（1）证明见解析，；（2） 【分析】（1）由可得出，结合等差数列的定义可证明结论成立，确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用等差数列的求和公式可求得的值． 【解析】（1），，，则，即，解得， 所以，，即， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故． （2）， 所以，． 3．已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，． （1）求数列、的通项公式： （2）记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求． 【试题来源】百校大联考2022届高三3月新高考标准卷 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题意，计算等差数列与等比数列的基本量后可求解； （2）先求数列的前n项和，再根据新定义即可求解． 【解析】（1）设的公差为d，的公比为q，，， 由题意可得整理可得，解得或（舍）， 所以，； （2）因为，则， 所以， 两式相减得， 所以，显然，且，即为递增数列， ，，，， 所以，，时，， 所以． 4．已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）当时，求数列的前n项和为． 【试题来源】百师联盟2022届高三二轮复习联考（一）（全国卷） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）当时可得，令，则，即可得到数列是首项为，公比为的等比数列，从而求出，即可求出数列的通项公式；（2）利用分组求和法及等差数列前项和公式求和即可； 【解析】（1）当时，，则，令，则， 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，从而； （2）因为， 所以 ． 5．已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求使得的的最大值． 【试题来源】重庆市2022届高三高考模拟调研（四） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合数列第项与前项和的关系进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可． 【解析】（1）由题意知， 解得，又， 所以是公差为的等差数列，则； （2）由题知，则， 由得，解得，所以的最大值为． 6．已知等比数列的首项为，前项和为，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前10项和．（表示不超过的最大整数） 【试题来源】福建省2022届高三诊断性检测 【答案】（1）；（2）3186． 【分析】（1）根据，，成等差数列求得公比，再结合首项直接写出通项公式即可； （2）根据的定义，求出，再并项求和即可求得结果． 【解析】（1）因为，，成等差数列，所以， 所以，即，设的公比为，则， 所以． （2）依题意，，则 ． 7．已知正项等比数列{}满足 （1）求{}的通项公式： （2）求数列{}的前n项和． 【试题来源】陕西省商洛市2022届高三下学期一模 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等比数列的性质得到，从而求出公比，得到通项公式；（2）利用分组求和，等比数列求和公式进行计算． 【解析】（1）由，得，解得 又，所以，因为，所以，所以 （2） 8．设数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列是递增数列，求t的取值范围． 【试题来源】海南省普通高等学校招生2022届高三诊断性测试 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意得到，两式相减化简得到，得到，再结合，得到数列是以3为首项，3为公比的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，得出，两式相减得到，根据题