专题2.2 解三角形-结构不良型-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题2.2 解三角形-结构不良型 对于此类试题，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序，用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是让边角分离，便于求解． 1．①，②，③．在上述三个条件中选择一个，补充在下面问题中的横线上，并完成问题． 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．若___________，，，，求b和c． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【试题来源】2022届高三普通高等学校招生全国统一考试 数学预测卷（三） 【答案】条件选择见解析，． 【分析】选条件①，利用和差角的余弦化简求出角A，再利用余弦定理、面积定理列式计算作答． 选条件②，由同角公式化简，利用正余弦定理求出角A，再利用余弦定理、面积定理列式计算作答． 选条件③，由三角恒等变换求出角A，再利用余弦定理、面积定理列式计算作答． 【解析】选条件①，由， 化简得， 即，有，在 中，，，解得， 由余弦定理得， 由，得， 而，由解得， 所以，． 选条件②，由变形得 ， 即，在中，由正弦定理得， 由余弦定理得，又，解得， 显然有，由，得， 而，由解得，所以，． 选条件③，在中，由及正弦定理得， 则，即， 又，即，则有，而，解得， 由余弦定理得， 由，得， 而，由解得， 所以，． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积，在下列三个条件中任选一个填在横线上，并解答问题．①；②；③． （1）若______，求； （2）若，，求c． 【试题来源】2022届高三普通高等学校招生全国统一考试 数学预测卷（一） 【答案】（1）选①；选②；选③；（2）． 【分析】（1）由题得，选①、选②、选③利用三角恒等变换化简即得解；（2）先求出，再利用正弦定理求出，再利用余弦定理求解． 【解析】（1）由三角形面积公式得，所以． 选①，则， 所以，整理得， 即，解得； 选②，则，所以， 整理得，即，解得； 选③，则， 所以，，． 因为，所以， 所以，所以，所以． （2）由（1）知，又，所以． 又，所以． 由正弦定理，得． 由余弦定理， 得，即， 解得或（舍去）． 3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，___________，求的面积． 【试题来源】江苏省苏锡常镇四市2022届高三下学期3月教学情况调研（一） 【答案】． 【分析】选①，由已知结合正弦定理角化边，求出，再按A是锐角和钝角分类计算作答．选②，由已知结合余弦定理角化边，再求出，按A是锐角和钝角分类计算作答． 选③，按A是锐角和钝角分类计算作答． 【解析】选择条件①：依题意，， 在中，由正弦定理得，， 由余弦定理得， 若A为锐角，则，则， 则，又，解得或， 即有的面积为， 若A为钝角，则， 则，有，又，无解，舍去， 综上可得，的面积为． 选择条件②：因为，由余弦定理得， 整理得，即， 而，则， 若A为锐角，则，有， 由余弦定理得， 则有，又，解得或， 即有的面积为， 若A为钝角，则，则，舍去， 综上可得，的面积为． ③因为，由余弦定理， 若A为锐角，则，则， 则，又，解得或， 即有的面积为． 若A为钝角，则， 则，有，又，无解，舍去， 综上可得，的面积为． 4．的内角，，所对的边分别为，，． （1）求的大小； （2）为内一点，的延长线交于点，________，求的面积． 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题． ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，． 【试题来源】福建省2022届高三诊断性检测 【答案】（1），（2）答案见解析 【分析】（1）由余弦定理得， ，可得 根据可得答案；（2）选①，设的外接圆半径为，由正弦定理得，为外心得 ，与盾，故不能选①． 选②，为的垂心得，由 ，，得，利用，求得，可得出为等边三角形，再由面积公式可得答案． 选③，为的内心，所以，由和正弦定理可得，结合，和面积公式可得答案； 【解析】（1）在中，由余弦定理得，因为，， 所以，整理得． 在中，由余弦定理得，所以， 即因为，所以． （2）选①， 设的外接圆半径为， 则在中，由正弦定理得，即， 因为为外心，所以，与盾，故不能选①． 选②， 因为为的垂心，所以， 又，所以在中，， 同理可得， 因为，所以，即， 因为在中，， 所以，因此， 故，为方程两根，即， 因为，，所以，所以为等边三角形， 所以． 选③， 因为为的内心，所以， 由，得， 因为，所以，即， 由（1）可得，即，所以， 即， 因为，所以，所以． 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （1）求角C的大小； （2）若____，求的周长，从下列三个条件中任选1个，补充在上面问题