山西省思维教育研究会与学科网多校联合教研（第一期）导数基础考点3

第 3 节 极值与最值 考点 出现频率 2022年预测 导数的几何意义 16/32 2022 年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用 导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题， 也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题． 导数与函数的单调性 7/32 导数与函数的极值 5/32 导数与函数的最值 5/ 32 【知识梳理】 考点 1 极值与最值 1．函数的极值 函数 ( )f x 在点 0x 附近有定义，如果对 0x 附近的所有点都有 0( ) ( )f x f x ，则称 0( )f x 是函数的一个极大 值，记作 0( )y f x=极大值 ．如果对 0x 附近的所有点都有 0( ) ( )f x f x ，则称 0( )f x 是函数的一个极小值，记作 0( )y f x=极小值 ．极大值与极小值统称为极值，称 0x 为极值点． 求函数的极值的三个基本步骤 ①求导数 ( )f x ；②求方程 ( ) 0f x = 的所有实数根；③检验 ( )f x 在方程 ( ) 0f x = 的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正）（注意数形结合分析），则 ( )f x 在这个根处取得极 大（小）值． 2．最值的判断法则 函数 ( )y f x= 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 ( )f x 最小值为极小值与靠近极 大值的端点之间的最小者． 间隔最值定理 导函数为 2 1 2 1 2( ) ( )( ) ( )f x ax bx c a x x x x m x x n= + + = − −    （1）当 0a  时，最大值是 1( )f x 与 ( )f n 中的最大者；最小值是 2( )f x 与 ( )f m 中的最小者． （2）当 0a  时，最大值是 2( )f x 与 ( )f m 中的最大者；最小值是 1( )f x 与 ( )f n 中的最小者． 一般地，设 ( )y f x= 是定义在[ ]m n， 上的函数， ( )y f x= 在 ( )m n， 内有导数，求函数 ( )y f x= 在[ ]m n， 上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求 ( )y f x= 在 ( )m n， 内的极值（极大值或极小值）；