专题2.1 解三角形-常规型-【挑战满分】2022年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题2.1 解三角形-常规型 1．对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用． 2．在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： （1）从题目给出的条件，边角关系来选择； （2）从式子结构来选择． 3．选择“边化角”或“角化边”时，具体变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理． 1．在中，分别为内角的对边，若． （1）求； （2）若，求周长的取值范围． 【试题来源】宁夏银川市第二中学2022届高三一模 【答案】（1），（2） 【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，进而求出角．（2）由，的值，利用正弦定理表示出，，进而表示出三角函数的周长，利用三角形的内角和定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围． 【解析】（1）由及正弦定理得，又，所以， 所以，又，所以， （2）由正弦定理可得，所以，， 所以的周长 ， 因为，所以，所以 所以，即， 所以周长的取值范围为． 2．记的内角，，的对边分别为，，，的面积为，已知． （1）求； （2）若，，求． 【试题来源】安徽省蚌埠市2022届高三下学期第三次教学质量检查 【答案】（1），（2） 【分析】（1）由，利用正弦定理集合两角和的正弦公式求解；（2）根据，求得边a，再利用余弦定理求解． 【解析】（1）因为， 所以， 所以，即， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）因为，所以， 由，得，所以． 3．在中，角的对边分别为为边的中点． （1）用表示的长度； （2）若，求的面积． 【试题来源】重庆市2022届高三高考模拟调研（四） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用平面向量加法的几何意义，根据平面向量模的公式、平面向量数量积的运算性质、余弦定理进行求解即可；（2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式进行求解即可． 【解析】（1）由知， 由余弦定理知，故； （2）由（1）知，故，， 所以． 4．在中，内角，，的对边分别为，，，，点在边上，满足，且． （1）求证：； （2）求角． 【试题来源】安徽省蚌埠市2022届高三下学期第三次教学质量检查 【答案】（1）证明见解析，（2） 【分析】（1）由题意得，然后利用三角形面积公式结合已知条件可得结论，（2）在和利用余弦定理结合可得，再在中利用余弦定理可求得结果 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 故，所以． （2）由题意知，， 在中，由余弦定理得① 在中，， 在中，， 由，知，即② 由①②得，，所以 5．在中，角，，对边分别为，，，已知，且． （1）求角； （2）若为中点，求的最大值． 【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2022届高三全真模拟（一） 【答案】（1），（2） 【分析】（1）将式子化成，再用正弦定理边化角得到，化简整理即可求解；（2）先得到，再转化成，然后代入边长利用基本不等式求最值即可． 【解析】（1）因为，即， 因为，故， 由正弦定理，有 即， 因为，所以， 因为，故． （2）因为为中点，所以， 于是， 因为，所以． 故，当且仅当时成立，故， 所以． 6．已知在中，角的对边分别为， ，且， （1）若，，求； （2）若，求的最大值． 【试题来源】辽宁省名校联盟2022届高三二轮复习联考（一）新高考卷 【答案】（1）或，（2） 【分析】（1）利用两角和差正弦公式可化简得到，进而得到，利用三角形面积公式可构造方程求得，从而得到；（2）由向量加法可知中线，在和中，利用余弦定理和可加和得到，利用基本不等式可求得所求最大值． 【解析】（1）由得 ， ，又或，，， 由正弦定理可知，，解得， 或； （2）设中点为，则，； 在中，； 在中，， ，，； 由（1）知，； ， 又（当且仅当时取等号），， 即当时，取得最大值． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）证明：为等腰三角形； （2）若，，求的面积． 【试题来源】青桐鸣2021-2022学年高三3月质量检测 【答案】（1）证明见解析，（2） 【分析】（1）由正弦定理转化，根据两角和差的正弦公式化简证明 （2）由余弦定理解出三边长，求底边的高后求面积 【解析】（1），由正弦定理转化得 ， 化简得，故，