第11讲 平面向量及其加减运算（核心考点讲与练）-2021-2022学年八年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）

第11讲平面向量及其加减运算（核心考点讲与练） 一、平面向量的概念 1．有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段． 2．向量 既有大小又有方向的量叫做向量． 向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模） 3．向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向． （2）常见的表示方法 ①向量，长度记为； ②向量、、，长度记为、、． 4．相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量． 5．相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量． 6．平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 二、向量的加法 1．向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 2．零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作．规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；． 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：． 对于任意向量，都有，． 3．向量的加法满足交换律：． 4．向量的加法满足结合律：． 5．向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量． 6．向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量． 三、向量的减法 1．向量的减法 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：． 2．向量减法的三角形法则 在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减 向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． 3．向量加法的平行四边形法则 如果，是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公 共起点作两个向量与，相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起 点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是，的和向量，这个 法则叫做向量加法的平行四边形法则． 4． 另外一个对角线向量，即是，的差向量，这个差向量与被减向量共终点． 一、平面向量的概念 例1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（ ） A．与是相等向量 B．与是平行向量 C．与是相反向量 D．与是相等向量 例2．（2019·全国九年级课时练习）给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）． ①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 例3．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（2020·上海徐汇区·）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（ ）． A．与是相等向量； B．与是相等向量； C．与是相反向量； D．与是平行向量． 例5．（2019·上海闵行区·）在矩形中，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 例6．（2019·全国九年级课时练习）如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量． 二、向量的加法 例1．（2021·上海专题练习）在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（ ） A．； B．； C．； D．． 例2．（2017·上海八年级期末）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．下列结论不正确的是（　　） A．∥ B． C． D． 例3．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在□ABCD中，O是对角线的交点，那么____． 例4．（2019课时练习）平行四边形中，对角线、相交于点，设向量，，则向量______． 例5．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）已知向量 、 求作：． 例6．（2019·上海闵行区·）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 三、向量的减法 例1．（2018·上海闵行区·八年级月考）