第八章 向量的数量积与三角恒等变换（B卷·提升能力) -2021-2022学年高一数学同步单元AB卷（人教B版2019必修第三册）

班级 姓名 学号 分数 第八章 向量的数量积与三角恒等变换（B卷·提升能力） （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，是夹角为60°的两个单位向量，，，若，则实数（       ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出m的值． 【详解】 ∵已知，是夹角为60°的两个单位向量， ∴1cos60°． 而 ，， 若，则 （）（m）mm1+m， 则m＝ 故选：A 2．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二倍角的余弦公式可得，利用诱导公式二、五可得 ，进而得出结果. 【详解】 因为， 所以， 所以. 故选：C 3．如图，为等腰直角三角形，为斜边上的高，点在射线上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设，进而根据，结合二次函数最值，向量数乘运算的及其运算律求解即可得答案. 【详解】 解：由，设， 则， 所以当时，取得的最小值为. 故选：B . 4．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另一种是两底角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin 54°＝（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出，再借助倍角公式求出，通过诱导公式求出sin 54°. 【详解】 正五边形的一个内角为，则，， ，所以． 故选：C. 5．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平面向量线性运算得到，再使用平面向量数量积运算法则进行计算. 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 6．设，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 结合三角恒等变换化简，结合三角函数的单调性确定正确选项. 【详解】 . . . 由于， 所以. 故选：D 7．点满足，，则点依次是的（       ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【解析】 【分析】 由得O为外心，由得N为重心，由得P为垂心作答. 【详解】 依题意，由得，O到的三个顶点的距离相等，即O为外心， 令AB的中点为D，则由，即，得，即N为重心， 由得：，则有，同理，则P为垂心. 故选：C 8．已知函数是奇函数．若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于x的方程在有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用奇偶性可得，通过图像变换得出，根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果. 【详解】 因为函数是奇函数， 所以，解得，即， 则， 向左平移个单位长度后，得到， 向上平移个单位长度，得到， 当时，，结合正弦函数对称性可知， 在有两个不相等实根，则且， 此时，实数m的取值范围是. 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（       ） A．在△ABC中，，E为AC的中点，则 B．已知非零向量与满足，则△ABC是等腰三角形 C．已知，若与的夹角是钝角，则 D．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 【答案】AB 【解析】 【分析】 对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用，表示出来再判断，对于B，由向量的加法法则判断，对于C，由题意可知，，且两向量不共线，从而可求出的范围，对于D，如图，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积的万物复苏示运算求解 【详解】 对于A，因为△ABC中，，E为AC的中点， 所以 , 所以A正确， 对于B，因为与是非零向量，所以所在的直线平分， 因为，所以，所以△ABC是等腰三角形，所以B正确， 对于C，因为与的夹角是钝角，所以，且两向量不共线，由，得，得，当与共线时，，得，所以当