专题02 同角三角函数基本关系式与诱导公式的5种常考题型-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题2 同角三角函数基本关系式与诱导公式的5种常考题型 一、三角函数的符号 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 简记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 二、同角三角函数基本关系式 1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意一下几点： ①注意“同角”，这里“同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． ②sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2， 前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． ③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 三、诱导公式 1、诱导公式： 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ， ，，其中 诱导公式三： ， ，，其中 诱导公式四：， ，，其中 诱导公式五：， ，其中 诱导公式六：， ，其中 2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 四、特殊角的三角函数值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 正弦 0 1 0 -1 0 余弦 1 0 -1 0 1 正切 0 1 -1 0 0 考向1 三角函数的符号 【例1】若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合． 由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限， 故θ的终边只能位于第四象限． 【变式1-1】已知点在第三象限，则角在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题意，， 由①知，为第三、第四或轴负半轴上的角； 由②知，为第二或第四象限角．则角在第四象限． 【变式1-2】若，则在 A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【解析】，可知与异号，说明在第或第四象限． 【变式1-3】式子的符号为 A．正 B．负 C．零 D．不能确定 【答案】B 【解析】，2，4分别表示第一、二、三象限的角， ，，． 考向2 sina、cosa、tana知一求二 【例2】已知，为第二象限角，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，为第二象限角，所以， 因此. 【变式2-1】已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，，知： ∴ 【变式2-2】已知，且是第四象限角．求的值． 【答案】 【解析】∵，，α是第四象限角， ∴，， ∴. 【变式2-3】已知，是第二象限角，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，是第二象限角，则； 又，所以， 故. 考向3 sinacosa、sina±cosa知一求二 【例3】已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，解得. 【变式3-1】已知，，则（ ） A. B. C