专题02 向量夹角和模归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题02 向量求夹角和模归类 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】 夹角基础型1：模长求夹角 1 【题型二】 夹角基础型2：坐标求夹角 3 【题型三】 夹角求参 4 【题型四】 夹角的最值 6 【题型五】 求模 8 【题型六】 模最值 10 二、最新模考题组练 11 【题型一】 夹角基础型： 模长求夹角 。 【例1】 已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解. 【详解】向量，的夹角为，且，，故可得， 则，， 设向量与向量的夹角为，故，又，故. 故选：D. 【例2】 已知两个非零向量，的夹角为，且满足，则与的夹角的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解． 【详解】解：设，则， 两个非零向量，的夹角为， ， ，， ， ， 与的夹角的大小为． 故选：A． 【例3】 如果不共线向量满足，那么向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律可得，由此可得结果. 【详解】，， ，即向量与的夹角为. 故选：C. 【例4】 已知、是两个单位向量，它们的夹角是，设，则向量与的夹角大小是__________． 【答案】 根据题意，得出，，根据向量的数量积的定义求出和，根据向量模的求法，分别求出和，最后利用平面向量的数量的应用，求出，即可得出与的夹角大小. 【详解】已知、是两个单位向量，它们的夹角是，，，则， 因为，，则 ，即：， 则， ， ，所以向量与的夹角为.故答案为：. 【题型二】 夹角基础型2：坐标求夹角 【例1】 已知两个非零向量，的夹角为，且满足，则与的夹角的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解． 【详解】解：设，则， 两个非零向量，的夹角为， ， ，， ， ， 与的夹角的大小为． 故选：A． 【例2】设向量，，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角的坐标运算可直接求得结果. 【详解】，. 故选：B. 【例3】 已知向量，满足，，，设与的夹角为，则（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，求出及，然后利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】解：因为，，，所以， 所以，， 所以， 故选：C. 【题型三】 夹角求参 【例1】 已知，的夹角为，则使向量与的夹角是锐角的实数 的取值范围是_____________________________. 【答案】且 【分析】向量夹角为锐角等价于两向量不共线且数量积大于零，根据向量共线与数量积列不等式，解得实数 的取值范围. 【详解】因为，的夹角为，所以 因为向量与的夹角是锐角， 所以 【例2】 已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】先求得，根据，结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得的取值范围，排除与共线时的值，由此求得的取值范围. 【详解】由题意可知. 又∵， ∴与的夹角为锐角，∴. ∵，∴. 解得或. 当时，与共线，其夹角不为锐角， 故的取值范围是. 故填：. 【例3】 ．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得. 【例4】 已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________. 【答案】 【详解】由得，又，则 由，可知，即向量满足，且夹角为 取，，，分别是线段，的中点， 则,， 由可知，点在直线上.又与的夹角为 要使得最大，则取圆过点、且与直线相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又 ， 则有，，解之得故答案为： 【题型四】 夹角的最值 【例1】 已知两不共线的非零向量满足,,则向量与夹角的最大值是__________. 【答案】 【分析】设向量夹角为，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到结果. 【详解】因为两非零向量满足,,设向量夹角为， 由于非零向量以及构成一个三角形，设， 则由余弦定理可得， 解得，当且仅当时，取得最小值， 所以的最大值是，故答案是. 【例2】知平面向量，，，满足，且，则当_____，则与的夹角最大． 【答案】. 【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示， 不妨设，，则，