专题01 向量“绕三角形”归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题01 向量1：“绕三角形”归类 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】“象限”与坐标轴基础 2 【题型二】基底基础型 4 【题型三】基底基础型求数量积 5 【题型四】“中线”复杂型 7 【题型五】系数未知型 9 【题型六】复杂数量积求参型 11 【题型七】最知性：构造三点共线 13 【题型八】 四心 15 二、最新模考题组练 17 综述 1. 向量基底，可以看做非正交坐标轴，或者处理成物理学受力分析 2. 如果是没有确定的角度关系，可以把基底“扶正”为正交坐标系，代入点坐标处理一些难题，即“建系法” 3.借助于向量拆分的俩基础公式，选定基底，然后通过。。。三角形。。。。拉长压缩。。。三角形。。。。拉长压缩。。。来转为基底形式 （1）. （2） 4.在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等. 【题型一】“象限”与坐标轴基础 【例1】 如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可利用平面向量基本定理和平行四边形法则将四个答案一一代入，然后判断点的位置，排除错误答案，即可得出结果. 【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知： 若取，则，点在阴影区域内，A正确； 若取，则，点在直线的上方，B错误； 若取，则，点在直线的下方，C错误； 若取，则，点在射线上，D错误， 故选：A. 【例2】 如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：①；②； ③；④；⑤ 若这些向量均以为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有 A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤ 【答案】B 【详解】试题分析：在上取使，以为邻边作平行四边形，其终点不在阴影区域内，排除选项；取的中点，作，由于,所以的终点在阴影区域内；排除选项，故选． 【例3】 如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围. 【详解】 如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且.，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ，的取值范围为.故选：B 【例4】 如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①存在点P，使得； ②存在点P，使得； ③存在点P，使得； ④存在点P，使得． 【答案】①④ 【分析】利用基底表示向量，结合图形作出判断. 【详解】设，由图可知： 且， ∴①④正确， 故答案为：①④ 【题型二】 基底基础型 【例1】 如图，若，，，是线段靠近的一个三等分点，则下列等式成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代换，计算得到答案. 【详解】. 故选：C. 【例2】 在中，点在边上，且，设， ，则 （ ） A． B． C． D． *【答案】B 【解析】， ， ，故选B. 【例3】 △ABC中，点D在AB上，满足．若，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用向量的线性运算，化简即可。 【详解】 根据向量的线性加法与减法运算，化简得 所以选B 【例4】 如图所示，向量，，，A，B，C 在一条直线上，且则(　 　) A． B． C． D． 【答案】A ,选A. 【题型三】 基底基础型求数量积 【例1】 在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP＝2PA，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】 利用向量的加减法及数乘运算用表示，再利用数量积的定义得解。 【详解】 依据已知作出图形如下： . 所以 故选：C 【例2】 设，为正三角形中边上的两个三等分点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由题意画出图形，把分别用表示，展开后得答案． 详解：如图， ，＜＞=60°， ∵D，E是边BC的两个三等分点， ∴== ==． 故选：C． 【例3】 在中，若，边上中线长为3，则（ ） A．-7 B．