专题10 零点问题-2021-2022学年高二数学下学期期中考试好题汇编（人教A版2019）

专题10 零点问题 知识点1：一个零点 1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:只有一个零点． 【答案】(1)递增区间是，，递减区间是； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）把代入，求出的导数，确定导函数大于0、小于0的x值范围作答. （2）结合函数零点的意义分离参数，构造函数，用导数判断函数单调性，再借助零点存在性定理求解作答. (1) 若时，函数，求导得， 由，解得， 当或时，，当时，， 所以的递增区间是，，递减区间是. (2) 因，则等价于， 令，则，当且仅当时取“=”， 于是得在R上单调递增， 而， ， 则存在唯一的，使得，即函数有唯一零点， 所以只有一个零点. 2．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数． (1)若，证明：在上存在唯一的零点； (2)若，证明：当时，． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用导数判断出函数的单调性，再由零点存在性定理求证即可； （2）求出函数导数，分析当时，导数大于等于0，利用函数单调递增，求出函数的最小值即可证明. (1) 当时，，故， ， 当时，，所以函数在上单调递减， 又，，由零点存在性定理知， 在上存在唯一的零点. (2) ， ， 当时，， 令， 当时，，， 当时，令，则， 故时，，单调递增；时，，单调递减， 故当时，，， ， 综上可知，时，，故，在时单调递增， 所以，即当时，． 3．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数，. (1)若，求的最大值； (2)若，求证：有且只有一个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用导数判断原函数单调性，从而可求最值. （2）求导后发现导数中无参数，故单调性与（1）中所求一致，然后利用零点存在定理结合的范围，以及函数单调性证明在定义域内有且只有一个零点. (1) 若，则，其定义域为，∴， 由，得， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴ (2) 证明：， 由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递诚， ∵， ∴当时，， 故在上无零点； 当时，， ∵且， ∴在上有且只有一个零点. 综上，有且只有一个零点. 4．（2022·全国·高二单元测试）已知函数. (1)当时，证明函数在区间上只有一个零点； (2)若存在，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【解析】 【分析】 （1）首先求得导函数的解析式，然后讨论函数的单调性，结合函数的性质即可确定函数零点的个数； （2）首先讨论函数的单调性，然后结合函数的最小值构造新函数，结合构造函数的性质分类讨论即可确定的取值范围． (1) 证明：当时，， 令， ∴在上为增函数， ∵， ∴，使， ∴当时，；当时，， 因此，在上为减函数，在 上为增函数， 当时，，当时，， 故函数在上只有一个零点． (2) 解：当时，，由（1）可知，，即， ∴当时，，在上为减函数，当时，，在 上为增函数， ∴， 由，知， 设，则， ∴在上为减函数， 又， ∴当时，，当时，， ∴存在，使不等式成立，此时； 当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以不存在，使不等式 成立， 当时，取，即，所以， 所以存在，使不等式 成立， 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】 方法点睛：在解决能成立问题时一般是将不等式能成立问题转化为求函数的最值问题，利用能成立；能成立. 知识点2：两个零点 5．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期末（理））已知函数． (1)若在点处的切线与轴平行，求的值； (2)当时，求证：； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解析】 【分析】 （1）由可求得实数的值； （2）利用导数分析函数的单调性，求得，即可证得结论成立； （3）分析可知在上存在唯一的极值点，且，可得出，构造函数，分析函数的单调性，求得的取值范围，再构造，分析函数的单调性，求出的范围，即可得出的取值范围. (1) 解：因为的定义域为，. 由题意可得，解得. (2) 证明：当时，，该函数的定义域为，， 令，其中，则，故函数在上递减， 因为，， 所以，存在，使得，则，且， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，， 所以，当时，. (3) 解：函数的定义域为，. 令，其中，则，所以，函数单调递减， 因为函数有两个零点，等价于函数在上存在唯一的极值点，且为极大值点，且， 即，所以，， 令，其中，则， 故函数在上单调递增， 又因为，由，可得， 构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增， 故，因此，实数的取值范围是. 【点睛】 方法点睛：利用导数证明不等式问