专题09 恒成立问题-2021-2022学年高二数学下学期期中考试好题汇编（人教A版2019）

专题09 恒成立问题 知识点1：端点不成立 1．（2021·辽宁大连·高三月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】 （1）答案见解析； （2） 【分析】 （1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解； （2）已知不等式可转化为对恒成立，分离可得，令，利用导数求的最大值即可求解. （1） 由可得 ， 当时，，当时，；当时，， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，由得，，， ①若，即时，恒成立，故在上单调递增； ②若，即时， 由可得：或；令可得： 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为； ③若，即时， 由可得：或；由可得： 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为； 综上所述： 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为和， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为和， 单调递减区间为. （2） 由可得对恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 则， 令，则，则在上单调递减， 又，，故在上有唯一的实根， 不妨设该实根为， 故当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 故， 又因为，所以，，， 所以，故的取值范围为． 2．（2021·陕西安康·高三期中（理））已知函数，. （1）若，证明：； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】 （1）由，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明； （2）先由可得，再利用导数求出函数的最小值，再根据，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解. （1） 当时，，，， 易知在单调递增，且， 所以时，，时， ∴在单调递减，单调递增， ∴. （2） ∵， ∴， ∴， ，，易知在单调递增， 且，， ∴，且在单调递减，单调递增， ∴，且， ∴， 易证， ∴，∴， ∴，∴ ∴.当时，， ∴实数a的取值范围是. 3．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，. （1）若在处的切线也是的切线，求的值； （2）若，恒成立，求的最小整数值. 【答案】 （1） （2）7 【分析】 （1）先用导数法求得在处的切线，再根据在处的切线也是的切线，将切线方程与联立，利用判别式法求解； （2）令，将，恒成立，转化为，对恒成立，利用导数法求解. （1） 因为函数， 所以， 则， 所以在处的切线方程为， 由，得， 因为在处的切线也是的切线， 所以，解得； （2） 令， 因为，恒成立， 所以，对恒成立， 令， 则， 令， 则， 所以在上递减， 又， 所以存在，有，即， 因为在递增，在上递减， 所以， 又， 所以， 令，由，得， 所以， 所以 故的最小整数值是7. 4．（2021·广东化州·高三月考）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）答案见解析 （2） 【分析】 （1）根据分类讨论，利用导数求出函数的单调区间； （2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可. （1） ， . 当时，，在R上单调递增. 当时，令，得. 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故当时，的单调递增区间是R； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2） ， ， ， ∵， ∴，在上单调递增， . 当，即时， ，在上单调递增， 则，， 故. 当，即时， ， ，，即或， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 则， ， ∴. 令函数，且， ，在上单调递增， ， ∵（）， ∴. 综上，实数a的取值范围是. 知识点2：端点恒成立 1．（2021·黑龙江·模拟预测（文））已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，恒有，求实数a的最小值. 【答案】 （1）增区间：，，减区间： （2） 【分析】 （1）求出函数导数，求解不等式和可得； （2）易得不符合题意，当，令，讨论的情况即可求出. （1） 当时，，， 令或，， 的增区间：，，减区间：； （2） ①当时：， 时：单调递减，不符合题意. ②当时：令， 若，则，令或，， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 又，只需， 综上，a的最小值为. 2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求实数的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）根据, 求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解. （2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可. （1） 解：, ； 函数在处取得极值， ； 又曲线在点处的切线与直线垂直， ； 解得：； （2） 不等式恒成立可化为，