专题08 双变量不等式问题-2021-2022学年高二数学下学期期中考试好题汇编（人教A版2019）

专题08 双变量不等式问题 知识点1：转化为单变量问题 1．（2021•宝坻区模拟）已知，． （1）求在，（1）处的切线方程及极值； （2）若不等式对任意成立，求的最大整数解． （3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：． 【解答】解：（1），定义域是， ，（1），（1）， 故切线方程是：，即； ， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， （3），无极大值； （2）若不等式对任意成立， 则，， 令，则，在递增， 且（3），（4），故存在，使得，即， 故在递减，在，递增，且， 故的最大整数解为9； （3）证明：， ，得：， 当时，，，时，， 故在递减，在，递增， 而要使有2个零点，要满足， 即，解得：， ，，令，由， ，即， ，而要证， 只需证明，即证，即证， 由，，只需证明， 令，则， ， 故在递增，（1）， 故在递增，（1）， ． 2．（2021春•荔湾区校级期中）已知函数． （Ⅰ）当时，试求函数图象在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，则， 故所求切线的斜率（1）， 又（1）， 切线方程为，即； （Ⅱ），令，则， 当时，，函数在单调递增，无极值点； 当时，函数在上有两个极值点，，则， 由可得，，由恒成立，即恒成立， ， 令，则， 由知，，故， 在单调递减，即，即， 实数的取值范围为． 3．（2021春•渝中区校级期中）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：． 【解答】（1）的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意得，不妨设， 由，得， 即，且，所以， 要证，即证， 显然在上是增函数，故只需证，即证， 即证，即证， 又由于，故只需证，即证， 令，则，所以即证． 令，则，所以在上为减函数， 从而（1），即有，从而成立． 4．（2021春•海曙区校级期中）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围． 【解答】解：（1）的定义域是， ， 令，△， 若，则△，恒成立，即， 则在上单调递减， 若，令，解得：，， 故时，，即， ，时，，即， ，时，，， 故在递减，在，递增，在，递减， 时，令，解得：，， 故时，，即，在递减， 综上：时，在单调递减， 时，在递减，在，递增，在，递减． （2）若存在两个极值点，，且， 则，，由，可得， 则， 令， ， ，且与在上符号一致， ， 所以单调递增，所以（1），即， 所以， 故的取值范围是． 知识点2：中点型 1．（2021•呼和浩特二模）已知函数． ①讨论的单调性； ②设，证明：当时，； ③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明． 【解答】解：①函数的定义域为， ， 当时，则由，得， 当时，，当，时，， 在单调递增，在，上单调递减； 当时，恒成立， 在单调递增； ②设函数， 则， ， 当时，，而， ， 故当时，； ③由①可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点， 故，从而的最大值为，且， 不妨设，，，，，则， 由②得，， 又在，上单调递减， ，于是， 由①知，． 2．（2021秋•山西期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：． 【解答】解：（1）， ①当时，，，单调递增； ②当时，，，单调递减； ，，单调递增， 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意； 当时，在单调递减，在单调递增，则（a）． 不妨设， 要证，即证，即证，即证． 因为在单调递增，即证， 因为，所以即证，即证， 令 ． ． 当，时，，单调递减，又， 所以，时，，即， 即， 又，所以，所以． 3．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）函数的定义域为， 又， 对于方程，△， ①若△，即时，则恒成立， 所以在上单调递增； ②若△，即时，令，解得，或， 当和，时，， 当，时，， 所以在和，上单调递增， 在，上单调递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，，单调递减区间为，； （2）由（1）可知，当时，，， 又， 故， 由， 可得， 两式相减，可得， 所以， 令， 所以， 则， 所以在上单调递减， 由的取值范围为，，可得的取值范围为， 所以， 又因为， 故实数的取值范围是． 4．（