高中数学强基计划专题讲座5： 数列

高中数学强基计划专题讲座5： 数列 【考点梳理】 1、 等差数列： （1）基本公式(为常数) ； （2）基本性质： ①,； ②(反之不一定成立)；特别地,当时,有； ③若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列； ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； ⑤等差数列,当项数为时,,；项数为时, ,,且；. ⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用的二次函数关系来分析. ⑦若,则；若,则； 若,则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)；. 2、等比数列 （1）基本公式：. （2）基本性质 ①,；②若、是等比数列，则、等也是等比数列； ③；④(反之不一定成 立)；. ⑤等比数列中(注：各项均不为0) 仍是等比数列. ⑥等比数列当项数为时,；项数为时,. 3、特殊性质： ①如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,则数列是等差数列； ②若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列； ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项； ④三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：； 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：. 4.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式. ⑵已知(即)求用作差法：. ⑶已知求用作商法：. ⑷若求用迭加法. ⑸已知,求用迭乘法. ⑹已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)： ①形如,,(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.②形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项. （7）形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…① 若①有二异根，则可令是待定常数） 若①有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得 5.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位 相减；⑤分裂通项法.公式：；； ；；常见裂项公式； ；； 常见放缩公式： 【典型例题】 一、与，整体与局部 例1、设为等比数列的前项和，，则 （A）11 （B）5 （C） （D） 解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 二、函数性质 例2、等比数列中， ，=4，函数，则（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。 例3、设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为，则，解得， 所以，所以当时，取最小值。 三、通项 例4、（交大）两个等差数列200,203,206，…和50,54,58，…都有100项，它们共同的项的个数是？ 分析 两个数列的公共项应同时满足两个数列的通项公式，由此我们可以寻找公共项在两个等差数列中项数的联系。 解答 两个等差数列的通项分别为 。 若，则， 所以，，所以被3整除。 又由，，所以，故有21项。 【点评】由一个数列中的部分项构成的数列称为该数列的子数列，两个数列的公共项是子数列研究的一个重要方面；除此之外，还经常会遇到等差数列或等比数列中的部分项成等差或等比数列的问题，解决这类问题的关键是利用通项公式建立子数列和原数列项数间的关系。 例5、（上海交大）已知为公差为6的等差数列，。 （1） 用表示数列的通项公式； （2） 若，求的最小值及取最小值时的n的值。 分析 （1）用累加法的通项公式；（2）根据通项公式，研究数列的图像。 解答 （1）因为，所以。 所以 。 （2）因为，所以 考察函数的图像，由得对称轴。 当时，取得最小值； 当时，取得最小值。 【点评】1、形如“”和“”形式的递推公式可以分别用累加法和累乘法求其通项公式； 2、除了借助数列的图像外，我们也经常根据数列的单调性研究数列中的最大项或最小项，数列的单调性可以借助的符号判别，也可以根据函数，的单调性研究。 例6、（