高中数学强基计划专题讲座4：平面向量

高中数学强基计划专题讲座4：平面向量 【考点梳理】 1. 平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使. 2、设,,则；其几何意义是等于的长度与在的方向上的投影的乘积；；在的方向上的投影； ； 注意: 为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向. 3.不等式：同向或有；反向或有 ；不共线. 4、几何意义： （1）设,. (1)； (2). （2）三点、、共线与共线；与共线的单位向量. （3）平移公式和定比分点公式. ①当点在线段上时,；当点在线段(或)延长线上时,或.②分点坐标公式：若；且,； 则, 中点坐标公式：. ③,,三点共线存在实数、使得且. （4）三角形中向量性质：①过边的中点：； ②为的重心； ③为的垂心； ④为的内心；所在直线过内心. 外心： ⑤设, . . ⑥为内一点,则. 5、平面向量的运算 向量的运算有加法、减法、数乘和内积．设，那么有 ①向量的加法 三角形法则： 运算律：(交换律) （结合律） 坐标运算： ②向量的减法 三角形法则： 转化为与相反向量的加法： 坐标运算： ③数乘向量 数乘向量，长度 方向：时与同向；时与反向；时为零向量 运算律： 坐标运算： ④向量的内积 定义： 运算律：（交换律） （分配律） 坐标运算： 【典型例题】 例1、（复旦）是不共线的两个向量，已知 ，三点共线，则的值为 （ ） 分析：三点共线时，那么由这三点形成的几个向量之间都是平行关系，根据向量平行的条件，写出它们之间的关系式． 解： ∴ ∴ ，故选 小结：向量问题中，三点共线时经常会有的条件，把共线的情况转化成两个向量平行也是基本方法，要把这些常见的处理方法掌握好，向量问题就简单多了． 例2、已知是两个相互垂直的单位向量，而．则对于任意实数，，的最小值是( ) 分析:题目出现向量的模和内积，要想到它们之间的关系，即根据这个关系就可以把问题转化成关于，的代数式求最小值的问题了． 解:是两个相互垂直的单位向量，那么有 当时，最小， 此时，选C． 小结：把向量的题目转化成熟悉的实际问题是解决向量问题的一个思路，特别是向量的模和内积计算都是实数，这一点要充分利用． 例3、设O点在内部，且有0，则的面积与的面积的比为 （ ） 分析：若能确定O点的位置，面积比就能求出来，如何根据条0 确定O的位置是本题的关键．三个数乘向量相加等于零向量，根据向量的加法运算法则，若能把相加的向量分成两个相反向量相加，而相反向量一定在一条线上，这样就确定O点的位置，进一步求出面积比． 解: 如图，设D，E分别是AC，BC边的中点， 则（1） （2） 由（1），（2）得， 0， 即与共线，且， ∴，∴故选C． 小结：向量在三角形中的应用最为常见，由向量运算的三角形法则，可用图中其他向量去代换一些向量．题目中对零向量，和中线向量的处理方法，在向量问题中经常会用到，要熟练掌握． 例4、（复旦）若向量垂直于向量，并且向量垂直于向量，则向量与的夹角为 （ ） 答案：B 例5、（复旦基地班）作坐标平移，使原坐标下的点在新坐标下为，则在新坐标下的方程为 ( ) 答案： 解析：由平移向量为，则 例6、定义，平面内两条相交不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）成为平面斜坐标系，在平面斜坐标系中，若(其中，分别斜坐标系轴、轴正方向的单位向量，为斜坐标系的原点)，则有序实数对成为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点M的斜坐标为（1,2），则以M为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程是 （ ） 答案： 解析：设P为圆上一点，由 整理可得 例7、已知，若是以O为直角顶点的等腰三角形，则的面积等于________ 答案:1 解析：设向量则 例8、（复旦保送生）设是复平面上单位圆上的四点，若，求证：这四个点组成一个矩形． 例9、（2010北大）向量已知夹角，，,, ,在时取得最小值，问当0＜＜时，夹角的取值范围。 分析与解：, 故 其中为的夹角 显然，解得，故。 【自我检测】 1、在△中，已知，，则＝ . 提示与答案：，得． 2、设,为两个相互