高中数学强基计划专题讲座1：基本初等函数

高中数学强基计划专题讲座：第一章 基本初等函数 （本专题包括知识点梳理、典型例题、素养提升和最新真题精选） 【考点梳理】 1.映射：（1）映射:是 “一对一或多对一”的对应；集合中的元素必有象且中不同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集). （2）一一映射:是“一对一”的对应，中不同元素的象必不同,中元素都有原象. 2.函数：函数: 是特殊的映射.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. （1）求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域. （2）求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). （3）求函数解析式的常用方法：①待定系数法(已知所求函数的类型)；②代换(配凑)法； ③方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。 3、函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； ⑵若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()； ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或； ⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定 4.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).⑵翻折变换：；. ⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然. ③函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数 的图像关于直线(轴)对称； ④若函数对时，或恒成立,则图像关 于直线对称； ⑤若对时,恒成立,则图像关于直线对称； ⑥函数,的图像关于直线对称(由确定)； ⑦函数与的图像关于直线对称； ⑧函数,的图像关于直线对称(由确定)； ⑨函数与的图像关于原点成中心对称；函数, 的图像关于点对称； ⑩函数与函数的图像关于直线对称；曲线：,关于 ,的对称曲线的方程为(或； 曲线：关于点的对称曲线方程为：. 5、函数的周期性：⑴若对时恒成立,则 的周期为； ⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为； ⑶若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为； ⑷若关于点,对称,则的周期为； ⑸的图象关于直线,对称,则函数的周期为； ⑹对时,或,则的周期为； 6、对数的运算：⑴；⑵对数恒等式； ⑶； ；⑷对数换底公式； 推论：. (以上且均不等于) 7、几个特殊函数 （1）二次函数：解析式的三种形式： ①一般式：；②顶点式： ； ③零点式：.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； （2）函数的图像是双曲线：①两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；②对称中心是点；③反函数为； （3）函数：增区间为,减区间为. 8、复合函数与反函数 （1）复合函数：定义域求法：若的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定. （2）对于反函数,应掌握以下一些结论：①定义域上的单调函数必有反函数；②奇函数的反函数也是奇函数；③定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；④周期函数不存在反函数； ⑤互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹与互为反函数,设的定义域为,值域为,则有,. 9、函数与方程 （1）定义：含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)=-f(x)、