专题05 实数中的数学思想-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题训练(五)实数中的数学思想 思想方法一:特殊到一般的思想 各种特殊情形往往包含着一般性的规律,我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法,然后猜想、归纳出一般性的规律,并把这个规律运用到一般情形.例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根,从而归纳、总结出平方根、立方根的性质. 1.先填写表,通过观察后再回答问题: a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中x= ,y= ; (2)从表格中探究a与数位规律,并利用这个规律解决下面两个问题: ①已知≈3.16,则≈ ; ②已知=8.973,若=89.73,用含m的代数式表示b,则b= ; (3)试比较与a的大小. 【答案】(1)0.1,10 (2)①31.6;② (3)当时,;当时,;当时,;当时, 【详解】(1)解:根据题意得:; (2)解:根据题意得:当a扩大100倍时,扩大10倍, ①∵≈3.16,∴; ②∵=8.973,=89.73, ∴; (3)当时,,此时; 当时,,此时; 当时,根据a与数位规律得:; 当时,根据a与数位规律得:; 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,. 2.观察下列各式:2,3,4. (1)类比上述式子,再写出一个同类型的式子; (2)你能用字母n(n是正整数)表示其中的规律吗?并给出证明. 【答案】(1);(2)规律n(n>1) 【详解】(1)解:根据前几个等式的变化规律,则有; (2)解:∵2=2,3=3,4=4. ∴规律为:n(n>1), 证明: =n(n>1). 3.阅读下列解题过程:;;;… (1)_,_. (2)观察上面的解题过程,则_(n为自然数) (3)利用这一规律计算:. 【答案】(1), ;(2);(3) 【详解】(1)解:,,故答案是:,; (2)解:===, 故答案是:; (3)解:原式. 思想方法二:转化思想 转化思想就是将一个待解决的问题A,转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B,从而获得问题A的答案.转化思想是数学中的核心思想.如:求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数,求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算,比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小. 4. 比较大小:和. 【答案】 【详解】∵||,||,()2,()2,而, ∴. 5.通过估算比较与的大小。 【答案】 【详解】∵2, ∴, ∴. 思想方法三:分类思想 当一个问题包含有多种情形时,需要逐一讨论,然后汇总得出问题的答案.如在本章中对实数进行分类时,如果按不同的标准,就有不同的分类方法. 6.求方程(x-3)2=9中x的值. 【答案】x的值为0或-12 【详解】两边开平方得x-3=±3, ①当x-3=3时,解得x=12;②当x-3=-3时,解得x=0. ∴x的值为0或-12. 7.求x的值:4(x﹣1)2=25. 【答案】x或x 【详解】∵4(x﹣1)2=25, ∴(x﹣1)2, ∴x﹣1或x﹣1, 解得:x或x. 思想方法四:数形结合思想 “数”与“形”是对立统一的,借助于数轴,可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来,达到“以形启数”、“以数助形”的目的. 8.在有理数和对应点在数轴上如图所示: (1)大小比较:、、、、用“<”连接; (2)化简:. 【答案】(1)a<−b<b<−a;(2)−2-a. 【详解】(1)根据数轴上点的特点可得:a<−b<b<−a; (2)根据数轴给出的数据可得:a<0,a+b<0,a−b<0,b−1<0, 则 = =−a−b−(b−a)−2(1−b)-a =−a−b−b+a−2+2b-a=−2-a. 9.如图,已知. (1)说出数轴上点所表示的数; (2)比较点所表示的数与的大小. 【答案】(1)点表示;(2) 【详解】(1),即数轴上点所表示的数是; (2), ,即比较点所表示的数大于. 10.下面是小李探索的近似值的过程:我们知道面积是2的正方形的边长是,易知,因此可设,可画出如图示意图. 由图中面积计算,, 另一方面由题意知,所以. 略去,得方程,解得,即. (1)仿照上述方法,探究的近似值.(画出示意图,标明数据,并写出求解过程) (2)仿照上述方法,在的基础上,再探究一次,使求得的的近似值更加准确,精确到0.01(画出示意图,标明数据,并写出求解过程) 【答案】(1),理由见详解;(2),理由见详解. 【详解】(1)设,如图,面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形, ∵S正方形=x2+2×2•x+4,而S正方形=5, ∴x2+2×2•x+4=5,略去x2,得方程4x+4=5,解得x=0.25,即; (2)解:∵x2>0, ∴2x+1<2, ∴x<0.5, ∴. ∴设,示意图如图所示.